Beweis, dass Summen konvergenter Folgen vollständige metrische Räume sind

Lassen L 1 sei die Menge aller Folgen reeller Zahlen

X = ( X 1 , X 2 , . . . , X N , . . . )
mit der Eigenschaft, dass ∑ N = 1 ∞ | X N | ist konvergent. Wenn wir definieren
D 1 ( X , j ) = ∑ N = 1 ∞ | X N − j N |
für alle x und y in L 1 , Beweise das ( L 1 , D 1 ) ist ein vollständiger metrischer Raum und der Raum ist auf natürliche Weise ein Banachraum.

Ich weiß, dass dies für vollständige metrische Räume bedeutet, zu zeigen, dass eine beliebige Cauchy-Folge in ( L 1 , D 1 ) konvergiert zu einem Punkt in ( L 1 , D 1 ) , aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das schreiben soll. ∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N , S T . ( ∀ M , N > N ⇒ CAUCHY-METRISCH).

Ich verstehe nicht ... wenn die Reihen konvergieren, befinden Sie sich in einem vollständigen Raum. Ich denke, das musst du beweisen ∑ | X N − j N | ist eine Metrik in diesem Raum.
Die konvergenten Reihen beziehen sich in diesem Fall auf bestimmte Punkte; es bedeutet nicht unbedingt, dass dieser Raum vollständig ist. Um zu beweisen, dass es vollständig ist, müssen Sie zeigen, dass alle Cauchy-Folgen von Folgen konvergieren.

Antworten (1)

Warnung: Dieser Beweis ist voll von der ekelhaftesten Indizierung, die die Welt je gesehen hat. Warte, eigentlich hat dieser Beweis im Nachhinein weniger ekelhafte Indexierung als der Beweis für L ∞ .

Angenommen, wir haben eine Folge von Punkten X N . Für jede X N , werden wir die bezeichnen T T H Element des Sequenzvektors (denken Sie daran, dass jeder Punkt ein Sequenzvektor ist) als X N , T . Was Sie beweisen müssen, ist, dass wenn X N Cauchy ist, konvergiert es zu einigen X Im Weltall.

Lassen Sie uns zuerst untersuchen, wofür es bedeutet X N Cauchy sein. ∀ R ∈ R + ∃ N ∈ N so dass ∀ k , M > N , D 1 ( X M , X k ) < R . Jetzt können wir auspacken. D 1 ( X M , X k ) = ∑ T = 1 ∞ | X M , T − X k , T | .

Ich kann den Beweis von hier aus fortsetzen, wenn Sie es brauchen, aber es scheint, als hätten Sie meistens Probleme damit, das Cauchy-Kriterium für diesen Sequenzraum zu artikulieren.

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