Zeigen Sie, dass {(x,sin(1/x)):x∈(0,1]}∪{(0,y):y∈[−1,1]}{(x,sin⁡(1/x) ):x∈(0,1]}∪{(0,y):y∈[−1,1]}\{(x,\sin(1/x)) : x∈(0,1] \} \cup \{(0,y) : y ∈ [-1,1] \} ist in R2R2\mathbb{R^2} mit Folgen abgeschlossen

Question

Zeigen Sie, dass {(x,sin(1/x)):x∈(0,1]}∪{(0,y):y∈[−1,1]}{(x,sin⁡(1/x) ):x∈(0,1]}∪{(0,y):y∈[−1,1]}\{(x,\sin(1/x)) : x∈(0,1] \} \cup \{(0,y) : y ∈ [-1,1] \} ist in R2R2\mathbb{R^2} mit Folgen abgeschlossen

Mathematik
metrische Räume
Allgemeine Topologie
Folgen-und-Serien

ssvnormandysr1

Übliche Metrik.

Die verkürzten Definitionen, die uns gerade gegeben wurden, sind:

Konvergente Sequenz: Eine Sequenz $(x_n)$ in einem metrischen Raum $X$ konvergiert zu $x_0$ wenn für jeden $\varepsilon \gt 0$ Es gibt $n_0\in\mathbb{N}$ so dass $d(x_n, x_0) \lt \varepsilon$ für jede $n \geq n_0$ .

Geschlossene Menge: Eine Menge $F$ in einem metrischen Raum $X$ ist abgeschlossen genau dann, wenn jede konvergente Folge in $F$ konvergiert zu einem Punkt in $F$ .

Dies ist die letzte Frage eines Aufgabensatzes für den Unterricht. Die Definitionen, die wir verwenden, sind sehr Standard für einen Einführungskurs in die Topologie, ich verstehe nur noch nicht, wie man sie richtig anwendet. Könnte mir jemand unter die Arme greifen? Oder mir zeigen, wie ich anfangen soll?

Ted Schifrin

Machen Sie hier einige Versuche. Ich nehme an, Sie dürfen die Kontinuität von verwenden

\sin

$\sin$ , also jede Folge, die gegen konvergiert

(x_{0}, y_{0})

$(x_0,y_0)$ mit

x_{0} > 0

$x_0>0$ Sie sollten in der Lage sein, leicht damit umzugehen (dh was müssen Sie in diesem Fall zeigen?). Nehmen wir als Nächstes an, Sie haben eine Sequenz, die zu konvergiert

(0, y_{0})

$(0,y_0)$ . Was müssen Sie in diesem Fall vorweisen?

ssvnormandysr1

So für

(0, y_{0})

$(0,y_0)$ Das muss ich zeigen

(0, y_{0})

$(0,y_0)$ ist noch im satz richtig? Würde also davon ausgehen, dass dies nicht der Fall ist, und versuchen, einen Widerspruch zu erreichen?

Ted Schifrin

Ja, das musst du zeigen, wenn

(x_{n}, y_{n})

$(x_n,y_n)$ ist eine Sequenz in Ihrem Satz, die zu konvergiert

(0, y_{0})

$(0,y_0)$ , Dann

(0, y_{0})

$(0,y_0)$ ist in deinem Set. Was bedeutet was?

ssvnormandysr1

Daher denke ich, dass ich die Definition von Konvergenz verwenden sollte. Also ich weiß, dass wenn

(x_{n}, y_{n})

$(x_n,y_n)$ konvergiert zu

(0, y_{0})

$(0,y_0)$ , Dann

x_{n}

$x_n$ konvergiert zu

0

$0$ Und

y_{n}

$y_n$ konvergiert zu

y_{0}

$y_0$ . Wich bedeutet das für

ε > 0

$ε>0$ , Es gibt

n_{0}

$n_0$ so dass

d (x_{n}, 0) < ε

$d(x_n,0)<ε$ Und

d (y_{n}, y_{0}) < ε

$d(y_n,y_0)<ε$ . danach bin ich etwas ratlos...

Paul Frost

Ihr Satz ist als Sinuskurve des geschlossenen Topologen bekannt. Es gibt viele Fragen in diesem Forum, die sich damit befassen.

Silber

Wenn

y_{0} > 1

$y_0 > 1$ , wählen

ϵ := (y_{0} - 1)^{2}

$\epsilon := (y_0 - 1)^2$ . Für alle

(x_{n}, y_{n})

$(x_n, y_n)$ , du hast

d ((x_{n}, y_{n}), (0, y^{*}))^{2} = x_{n}^{2} + (y_{n} - y^{*})^{2} \geq (1 - y^{*})^{2} = ϵ

$d((x_n, y_n), (0, y^*))^2 = x_n^2 + (y_n - y^*)^2 \ge (1 - y^*)^2 = \epsilon$ . Dies zeigt, dass Ihre Sequenz nicht in Richtung konvergiert

(0, y^{*})

$(0, y^*)$ .

ssvnormandysr1

Ich habe es verstanden, vielen Dank an alle.

Paul Frost

@ssvnormandysr2 Dann solltest du eine Antwort auf deine eigene Frage schreiben. Siehe math.stackexchange.com/help/self-answer .

Benutzer2661923

Meiner Erfahrung nach macht sich der ursprüngliche Verfasser bei den meisten hier geposteten Fragen nicht die Mühe, die Definitionen zu spezifizieren oder Hintergrundinformationen zum Problem zu geben. Wenn Ihre Anfrage nicht bereits positiv bewertet worden wäre, hätte ich dafür positiv gestimmt.

Antworten (3)

Zeigen Sie, dass {(x,sin(1/x)):x∈(0,1]}∪{(0,y):y∈[−1,1]}{(x,sin⁡(1/x) ):x∈(0,1]}∪{(0,y):y∈[−1,1]}\{(x,\sin(1/x)) : x∈(0,1] \} \cup \{(0,y) : y ∈ [-1,1] \} ist in R2R2\mathbb{R^2} mit Folgen abgeschlossen

Machen Sie hier einige Versuche. Ich nehme an, Sie dürfen die Kontinuität von verwenden $\sin$ , also jede Folge, die gegen konvergiert $(x_0,y_0)$ mit $x_0>0$ Sie sollten in der Lage sein, leicht damit umzugehen (dh was müssen Sie in diesem Fall zeigen?). Nehmen wir als Nächstes an, Sie haben eine Sequenz, die zu konvergiert $(0,y_0)$ . Was müssen Sie in diesem Fall vorweisen?
So für $(0,y_0)$ Das muss ich zeigen $(0,y_0)$ ist noch im satz richtig? Würde also davon ausgehen, dass dies nicht der Fall ist, und versuchen, einen Widerspruch zu erreichen?
Ja, das musst du zeigen, wenn $(x_n,y_n)$ ist eine Sequenz in Ihrem Satz, die zu konvergiert $(0,y_0)$ , Dann $(0,y_0)$ ist in deinem Set. Was bedeutet was?
Daher denke ich, dass ich die Definition von Konvergenz verwenden sollte. Also ich weiß, dass wenn $(x_n,y_n)$ konvergiert zu $(0,y_0)$ , Dann $x_n$ konvergiert zu $0$ Und $y_n$ konvergiert zu $y_0$ . Wich bedeutet das für $ε>0$ , Es gibt $n_0$ so dass $d(x_n,0)<ε$ Und $d(y_n,y_0)<ε$ . danach bin ich etwas ratlos...
Ihr Satz ist als Sinuskurve des geschlossenen Topologen bekannt. Es gibt viele Fragen in diesem Forum, die sich damit befassen.
Wenn $y_0 > 1$ , wählen $\epsilon := (y_0 - 1)^2$ . Für alle $(x_n, y_n)$ , du hast $d((x_n, y_n), (0, y^*))^2 = x_n^2 + (y_n - y^*)^2 \ge (1 - y^*)^2 = \epsilon$ . Dies zeigt, dass Ihre Sequenz nicht in Richtung konvergiert $(0, y^*)$ .
@ssvnormandysr2 Dann solltest du eine Antwort auf deine eigene Frage schreiben. Siehe math.stackexchange.com/help/self-answer .
Meiner Erfahrung nach macht sich der ursprüngliche Verfasser bei den meisten hier geposteten Fragen nicht die Mühe, die Definitionen zu spezifizieren oder Hintergrundinformationen zum Problem zu geben. Wenn Ihre Anfrage nicht bereits positiv bewertet worden wäre, hätte ich dafür positiv gestimmt.

Mostafa Ayaz · Answer 1

Lassen Sie eine Sequenz $(x_n,\sin\frac{1}{x_n})$ konvergieren irgendwann $(x_0,y_0)$ . Seit $x_n\ge 0$ Und $-1\le y_n\le 1$ , haben wir zwei Fälle:

$x_0=0$

In diesem Fall fällt der Grenzpunkt hinein $\{(0,y): -1\le y\le 1\}$ Weil $x_n\ge 0$ Und $-1\le y_n\le 1$ .

$x_0>0$

Wir können schreiben

| X_{N} - X_{0} | < ϵ_{1} ⟹ | Sünde \frac{1}{X_{N}} - Sünde \frac{1}{X_{0}} | < ϵ_{2} | Sünde \frac{1}{X_{N}} - j_{0} | < ϵ_{3} .

${ |x_n-x_0|<\epsilon_1\implies |\sin\frac{1}{x_n}-\sin\frac{1}{x_0}|<\epsilon_2 \\ |\sin\frac{1}{x_n}-y_0|<\epsilon_3 }.$ Aus den obigen Ungleichungen schließen wir durch die Dreiecksungleichung darauf

| Sünde \frac{1}{X_{0}} - j_{0} | = | Sünde \frac{1}{X_{N}} - j_{0} - Sünde \frac{1}{X_{N}} + Sünde \frac{1}{X_{0}} | \leq | Sünde \frac{1}{X_{N}} - j_{0} | + | Sünde \frac{1}{X_{N}} - j_{0} | < ϵ_{2} + ϵ_{3},

${|\sin\frac{1}{x_0}-y_0| \\=|\sin\frac{1}{x_n}-y_0-\sin\frac{1}{x_n}+\sin\frac{1}{x_0}| \\\le|\sin\frac{1}{x_n}-y_0|+|\sin\frac{1}{x_n}-y_0| \\<\epsilon_2+\epsilon_3 } ,$ was nachgibt

\sin \frac{1}{x_{0}} - y_{0}

$\sin\frac{1}{x_0}-y_0$ denn beides

y_{0}

$y_0$ Und

\sin \frac{1}{x_{0}}

$\sin\frac{1}{x_0}$ sind konstant

◼

$\blacksquare$

Zorngo · Answer 2

Lassen $S$ bezeichne die fragliche Menge und fixiere $z \in S$ .

Stell dir das erstmal vor $z = (x,\sin(\frac{1}{x}))$ für einige $x \in (0,1]$ . Wählen Sie Ihre Lieblingssequenz $(x_n)$ so dass $x_n \to x$ Und $x_n \in (0,1]$ (z.B. $x_n = x + \frac{1}{n}$ für groß genug $n$ .) Seit $\sin(\frac{1}{x})$ ist durchgehend an $(0,1]$ es folgt dem $\sin(\frac{1}{x_n}) \to \sin(\frac{1}{x})$ . Somit, $(x_n,\sin(\frac{1}{x_n}))$ ist eine Folge in $S$ die konvergiert zu $z$ .

Nun nehme das an $z = (0,y)$ für einige $y \in [-1,1]$ . Da die Funktion $\sin$ kontinuierlich ist, impliziert ein Zwischenwerttheorem-Argument dies für jeden $n \in \mathbb N$ , es gibt welche $a_n \in [n,n+2\pi]$ so dass $\sin(a_n) = y$ . Lassen $x_n = \frac{1}{a_n}$ und beobachte das $x_n \in (0,1]$ . Dann $x_n \to 0$ Und $\sin(\frac{1}{x_n}) \to y$ . Es folgt dem $(x_n,\sin(\frac{1}{x_n}))$ ist eine Folge in $S$ konvergiert zu $z$ .

Da jeder Punkt von $S$ ist der Grenzwert einer Folge in $S$ , es folgt dem $S$ ist geschlossen.

Yushiro Aoki · Answer 3

Lassen $A: = \{ (x, \sin(\frac{1}{x})) \mid x \in (0, 1] \}$ Und $B := \{ (0, y) \mid y \in [-1, 1] \}$ .

Beliebige Reihenfolge fixieren $\{a_n\} _{n \in \mathbb{N}} = \{ (x_n , y_n )\} _{n \in \mathbb{N}}$ In $A \cup B$ die zusammenlaufen $\mathbb{R}^2$ .

Lassen $a = (x,y)$ sei der Grenzpunkt von $\{a_n\}_n$ .

Lassen $N_A := \{ n \in \mathbb{N} \mid a_n \in A \}$ Und $N_B := \{ n \in \mathbb{N} \mid a_n \in B \}$ .

Dann mindestens einer von $N_A$ Und $N_B$ ist unbegrenzt $\mathbb{N}$ .

Nehmen wir an, dass der wesentliche Fall das ist $N_A$ ist unbegrenzt (andernfalls verwenden Sie die Nähe von $B$ ) Und $x = 0$ (Ansonsten verwenden Sie die Kontinuität von $\sin(\frac{1}{x})$ ) tritt ein.

Betrachten Sie die Teilfolge $\{a_n\}_{n\in N_A}$ . Beachten Sie, dass die Grenze jeder Teilfolge einer konvergenten Folge $\{p_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ gleich der Grenze von ist $\{p_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ (Du weisst?). Seit $y_n = \sin (\frac{1}{x_n})\in [-1 , 1]$ für alle $n \in N_A$ Und $[-1, 1]$ geschlossen ist, haben wir $y \in [-1, 1]$ .

Deshalb $a \in B$ .

Daher $A\cup B$ ist unter der Sequenzgrenze abgeschlossen und daher abgeschlossen.

Zeigen Sie, dass {(x,sin(1/x)):x∈(0,1]}∪{(0,y):y∈[−1,1]}{(x,sin⁡(1/x) ):x∈(0,1]}∪{(0,y):y∈[−1,1]}\{(x,\sin(1/x)) : x∈(0,1] \} \cup \{(0,y) : y ∈ [-1,1] \} ist in R2R2\mathbb{R^2} mit Folgen abgeschlossen

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Ted Schifrin

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Ted Schifrin

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Paul Frost

Silber

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Paul Frost

Benutzer2661923

Antworten (3)

Mostafa Ayaz

Zorngo

Yushiro Aoki

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