So überprüfen Sie die Konvergenz der Sequenz im vollständigen metrischen Raum.

Question

So überprüfen Sie die Konvergenz der Sequenz im vollständigen metrischen Raum.

Mathematik
metrische Räume
Cauchy-Sequenzen
Folgen-und-Serien
Konvergenz-Divergenz

Kushal Bhuyan

Lassen $\{x_n\}$ Und $\{y_n\}$ zwei Folgen in einem vollständigen metrischen Raum sein $(X,d)$ so dass

$d(x_n,x_{n+1})\le\frac{1}{n^2}$

$d(y_n,y_{n+1})\le \frac{1}{n}$ , für alle $n\in \mathbb{N}.$

Welche Folge würde dann konvergieren? Rechtfertigen.

Da nun der Raum vollständig ist, ist jede Cauchy-Folge konvergent. Lassen $X=\mathbb{R}$ Und $d$ , die übliche Metrik. Also nehme ich die Folge von Partialsummen harmonischer Reihen $\{H_n\}_{n\ge1}$ , Dann

D (H_{N}, H_{N + 1}) = | H_{N + 1} - H_{N} | = 1 / (N + 1) \leq 1 / N

$d(H_n,H_{n+1})=|H_{n+1}-H_n|=1/(n+1)\le1/n$ Aber

H_{n}

$H_n$ keine Cauchy-Folge ist, also nicht konvergiert

X

$X$ .

2 muss also nicht konvergieren.

Ist meine Überlegung richtig? Ich habe auch das Gefühl, dass 1 immer konvergieren würde, aber ich konnte es nicht beweisen. Kann mir da jemand helfen? Danke.

Will Jagy

für groß

M < N,

$M < N,$ wie groß ist

\sum_{j = M + 1}^{N} \frac{1}{j^{2}} ?

$\sum_{j =M+1}^N \; \frac{1}{j^2} \; \; ?$

Antworten (1)

So überprüfen Sie die Konvergenz der Sequenz im vollständigen metrischen Raum.

für groß $M < N,$ wie groß ist $\sum_{j =M+1}^N \; \frac{1}{j^2} \; \; ?$

Theo Bendit · Answer 1

Deine Argumentation ist gut.

Verwenden Sie für 2 die Dreiecksungleichung, um zu zeigen, dass z $m < n$ ,

D (X_{N}, X_{M}) \leq \sum_{k = M}^{N - 1} D (X_{k}, X_{k + 1}) .

$d(x_n, x_m) \le \sum_{k = m}^{n - 1} d(x_k, x_{k+1}).$ Cauchiness folgt aus der Konvergenz von

\sum \frac{1}{n^{2}}

$\sum \frac{1}{n^2}$ .

So überprüfen Sie die Konvergenz der Sequenz im vollständigen metrischen Raum.

Kushal Bhuyan

Will Jagy

Antworten (1)

Theo Bendit

Zeigen, dass diese Folge eine Cauchy-Folge ist

Beweisen, dass der metrische Raum aller Folgen positiver ganzer Zahlen vollständig ist

Warum wollen wir komplette Räume? Nutzen wir nicht einfach geschlossene Räume?

Die Cauchy-Folge im endlichen Raum ist schließlich konstant

Unendlich viele Terme einer Cauchy-Folge in einer Vereinigung disjunkter abgeschlossener Mengen

Ob die gegebene Reihe konvergent oder divergent ist.

Satz 3.55 in Baby Rudin: Wie macht man den Beweis sinnvoll?

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k konvergiert absolut und ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k konvergiert Tut dies implizieren, dass ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) konvergiert?

Welche der folgenden metrischen Räume sind vollständig?

Konvergenz der Reihe ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} für x>0x>0x>0