Konvergenz der Reihe ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} für x>0x>0x>0

Question

Konvergenz der Reihe ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} für x>0x>0x>0

Mathematik
Realanalyse
Sequenzen-und-Serien
Konvergenz-Divergenz

Benutzer8976

Beim Überprüfen der Konvergenz der Reihe $\sum u_n, u_n = \frac{n^n x^n}{n!}$ für $x>0$ , wir haben den Verhältnistest verwendet, um das zu sagen $0< x < \frac1e$ $\sum u_n$ ist konvergent und für $\frac1e < x<\infty$ $\sum u_n$ ist divergierend.

Wir verwenden den logarithmischen Test für den Fall $x = \frac1e$ , wo wir auf die Berechnung des Limits gestoßen sind

lim_{N \to \infty} N + N^{2} Protokoll \frac{N}{N + 1}

$\lim_{n \to \infty} n+n^2 \log \frac{n}{n+1}$ aber ich stecke fest, um die Grenze zu finden.

Antworten (2)

Konvergenz der Reihe ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} für x>0x>0x>0

GEdgar · Answer 1

N + N^{2} Protokoll \frac{N}{N + 1} = N - N^{2} Protokoll \frac{N + 1}{N} = N - N^{2} Protokoll (1 + \frac{1}{N})

$n+n^2\log\frac{n}{n+1} = n-n^2\log\frac{n+1}{n} = n-n^2\log\left(1+\frac{1}{n}\right)$ Machen Sie also einige Asymptotiken. Als

n \to + \infty

$n \to +\infty$ , wir haben

\begin{aligned} Protokoll (1 + \frac{1}{N}) & = \frac{1}{N} - \frac{1}{2 N^{2}} + Ö (\frac{1}{N^{2}}) \\ N^{2} Protokoll (1 + \frac{1}{N}) & = N - \frac{1}{2} + Ö (1) \\ N - N^{2} Protokoll (1 + \frac{1}{N}) & = \frac{1}{2} + Ö (1) \end{aligned}

$\begin{align} \log\left(1+\frac{1}{n}\right) &= \frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right) \\ n^2\log\left(1+\frac{1}{n}\right) &= n-\frac{1}{2}+o(1) \\ n-n^2\log\left(1+\frac{1}{n}\right) &= \frac{1}{2}+o(1) \end{align}$

Jose Carlos Santos · Answer 2

Das folgt aus Stirlings Näherung

\frac{N^{N} {(\frac{1}{e})}^{N}}{N!} = \frac{N^{N}}{e^{N} N!} ⩾ \sqrt{2 π N} .

$\frac{n^n\left(\frac1e\right)^n}{n!}=\frac{n^n}{e^nn!}\geqslant\sqrt{2\pi n}.$ Daher divergiert die Reihe.

Konvergenz der Reihe ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} für x>0x>0x>0

Benutzer8976

Antworten (2)

GEdgar

Jose Carlos Santos

Bestimmen Sie, ob die Reihe ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} konvergent oder divergent ist.

Konvergenz einer bestimmten unendlichen Reihe

Ist ∑∞n=4(1log(log(n)))log(n)∑n=4∞(1log⁡(log⁡(n)))log⁡(n)\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)} konvergieren?

Bestimmen Sie, ob die Reihe absolut konvergiert, bedingt konvergiert oder divergiert.

Abwechselnde Kombination einer konvergenten und einer divergenten Reihe

Habe ich die Konvergenz dieser Reihe richtig verifiziert?

Verhältnistest und Wurzeltest

Frage zur Auswertung einer Grenze einer Folge.

Bestimmen Sie, ob diese Reihe konvergiert oder nicht.

Bestimmen Sie, ob die Reihe absolut, bedingt oder divergiert.