Ist ∑∞n=4(1log(log(n)))log(n)∑n=4∞(1log⁡(log⁡(n)))log⁡(n)\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)} konvergieren?

Question

Ist ∑∞n=4(1log(log(n)))log(n)∑n=4∞(1log⁡(log⁡(n)))log⁡(n)\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)} konvergieren?

Summe
Mathematik
Realanalyse
Folgen-und-Serien
Konvergenz-Divergenz

ShishRobot

Ich habe diese Serie, bei der ich nicht verstehe, wie ich ihren Charakter finden soll.

\begin{matrix} (1) & \sum_{N = 4}^{\infty} {(\frac{1}{Protokoll (Protokoll (N))})}^{Protokoll (N)} \end{matrix}

$\tag{1} \sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)}$ Zur Übung habe ich eine ähnliche Serie gelöst, um den Grund zu bekommen, wie man die vorherige löst.

\begin{matrix} (2) & \sum_{N = 2}^{\infty} {(\frac{1}{Protokoll (N)})}^{Protokoll (N)} \end{matrix}

$\tag{2} \sum_{n=2}^\infty \left(\frac{1}{\log(n)}\right)^{\log(n)}$ Das ist meine Lösung:

a_{n}

$a_n$ ist eine Reihe aus positiven Termen, kann also nicht unlösbar sein (positiv divergieren oder konvergieren).

Protokoll (N)^{Protokoll (N)} = (e^{Protokoll (N)})^{Protokoll (Protokoll (N))} = N^{Protokoll (Protokoll (N))} \geq N^{Protokoll (3)}

$\log(n)^{\log(n)} = (e^{\log(n)})^{\log(\log(n))} = n^{\log(\log(n))} \ge n^{\log(3)}$

\forall n > e^{3}

$\forall n >e^3$ ,

\log (3) > 3

$\log(3)>3$ ,

\log (\log (n)) > \log (3) > 1

$\log(\log(n))>\log(3)>1$ . Das haben wir also

\frac{1}{Protokoll (N)^{Protokoll (N)}} \leq \frac{1}{N^{Protokoll (3)}}

$\frac{1}{\log(n)^{\log(n)}} \le \frac{1}{n^{\log(3)}}$

\forall n > e^{3}

$\forall n> e^3$ .

Und durch das Kriterium des asymptotischen Vergleichs durch die Tatsache, dass

\begin{matrix} (3) & \sum \frac{1}{N^{Protokoll (3)}} \end{matrix}

$\tag{3} \sum \frac{1}{n^{\log(3)}}$ ist die verallgemeinerte harmonische Reihe mit

p = \log (3) > 1

$p=\log(3)>1$ also konvergiert es.

(3)

$(3)$ konvergiert so dann

(2)

$(2)$ konvergiert.

Ich weiß nicht, wie ich das zur Lösung verwenden soll $(1)$ , ich kann keine Ungleichung finden, um es richtig zu machen.

Antworten (3)

Ist ∑∞n=4(1log(log(n)))log(n)∑n=4∞(1log⁡(log⁡(n)))log⁡(n)\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)} konvergieren?

Thomas Andreas · Answer 1

Ihre Argumentation funktioniert allgemeiner.

Gegeben irgendeine positive Funktion $f(n):$

F (N)^{Protokoll N} = e^{Protokoll F (N) Protokoll N} = N^{Protokoll F (N)}

$f(n)^{\log n}=e^{\log f(n)\log n}=n^{\log f(n)}$

Nun, wenn $f(n)\to\infty$ als $n\to\infty$ wir können das bekommen

\sum {(\frac{1}{F (N)})}^{Protokoll N}

$\sum \left(\frac1{f(n)}\right)^{\log n}$ konvergiert, nach Ihrer Argumentation.

Noch schwächer, wenn es welche gibt $c>e$ und einige $N,$ so dass $f(n)\geq c$ für alle $n\geq N,$ dann konvergiert die Reihe.

Sie brauchen also nur $f(n)=\log\log n\geq 3$ für $n$ ausreichend groß, sagen wir $n>e^{e^3}.$

Wenn $f$ nicht fallend ist, divergiert die Reihe genau dann, wenn $f(n)\leq e$ für alle $n.$

Benutzer · Answer 2

Durch Cauchy-Kondensationstest haben wir

\sum_{N = 4}^{\infty} 2^{N} {(\frac{1}{Protokoll (Protokoll (2^{N}))})}^{Protokoll (2^{N})} = \sum_{N = 4}^{\infty} {(\frac{e}{Protokoll (N Protokoll 2)})}^{N Protokoll 2}

$\sum_{n=4}^\infty 2^n\left(\frac{1}{\log(\log(2^n))}\right)^{\log(2^n)}=\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{e}{\log(n\log 2)}\right)^{n\log 2}$

die konvergiert.

Markus Viola · Answer 3

Nach dem im OP beschriebenen Ansatz haben wir

\begin{aligned} {(\frac{1}{Protokoll (Protokoll (N))})}^{Protokoll (N)} & = e^{- Protokoll (N) Protokoll (Protokoll (Protokoll (N)))} \\ = N^{- Protokoll (Protokoll (Protokoll (N)))} \end{aligned}

$\begin{align} \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)}&=e^{-\log(n)\log(\log(\log(n)))}\\\\ &=n^{-\log(\log(\log(n)))} \end{align}$

Für alle $n>e^{e^e}$ , $\log(\log(\log(n)))>1$ und insofern $\log(n)$ monoton ansteigt, konvergiert die Reihe.

Der einzige Grund $\log\log\log n>1$ genug ist, dass es zunimmt. Wenn $\log\log\log(n)>1$ Aber $\log\log\log(n)\to 1,$ dann würde die Reihe nicht unbedingt konvergieren. Du brauchst etwas $c>1$ so dass $\log\log\log n\geq c$ für groß $n.$
@ThomasAndrews Ja, ich dachte, das wäre mehr als offensichtlich. Ich habe bearbeitet, um die Dinge klarer zu machen.

Ist ∑∞n=4(1log(log(n)))log(n)∑n=4∞(1log⁡(log⁡(n)))log⁡(n)\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)} konvergieren?

ShishRobot

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Thomas Andreas

Benutzer

Markus Viola

Thomas Andreas

Markus Viola

Ist der Integraltest für die Konvergenz notwendig und ausreichend?

Konvergenz der Reihe ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} für x>0x>0x>0

Summe der inversen Quadrate der Hypotenuse pythagoräischer Dreiecke

Hilfe bei der Summe unendlicher Reihen, stecke im Problem fest

Bestimmen Sie, ob die Reihe ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} konvergent oder divergent ist.

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