Bestimmen Sie, ob die Reihe absolut konvergiert, bedingt konvergiert oder divergiert.

Lassen$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$. Dann haben wir das von Standardschätzungen

$$\ln(n+1) = \int_{1}^{n+1} \frac{1}{x}dx \le H_n \le 1 + \int_{1}^n \frac{1}{x} dx = 1 + \ln(n).$$

Tatsächlich haben wir das, wie in https://www.math.drexel.edu/~tolya/123_harmonic.pdf gezeigt

$$\lim_{n \to \infty} \underbrace{H_n - \ln(n)}_{\delta_n} \to \gamma \approx 0.5772.$$

Betrachten wir nun einen der Blöcke der Sequenzen aus$(2^k - 1)$st Begriff zum$(2^{k+1}-1)$st Begriff. Wir wissen, dass alle Terme in einem solchen Block das gleiche Vorzeichen haben. Lassen$a_k$sei die Summe der Elemente in der$k$Block. Dann haben wir das

$$|a_k| = H_{2^{k+1}-1}-H_{2^k-1} = \delta_{2^{k+1}-1}-\delta_{2^k-1} + \ln(2^{k+1}-1) - \ln(2^k-1).$$

Nun, wenn wir senden$k$bis unendlich, das sehen wir$|a_k| \to \ln(2)$. Also die alternierende Reihe$a_k$weicht ab.

Nun lass$S_n$sei die Teilreihe der fraglichen Reihe. Das bedeutet, dass die Reihe in der Frage konvergiert$S_n$konvergiert als Folge. Allerdings ist in diesem Fall jede Folge von$S_n$konvergiert. Wir haben jedoch gerade eine Unterfolge gefunden, die auseinandergeht. Daher weicht unsere ursprüngliche Reihe ab.