Bestimmen Sie, ob ∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}(\frac{n}{n^2+1}) ist absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent.

Dies konvergiert definitiv durch den alternierenden Serientest. Der AST fordert, dass die vorzeichenlosen Begriffe abnehmen und eine Grenze von 0 haben. In Ihrem Fall die Begriffe$\frac{n}{n^2+1}$tun Sie genau das, damit es konvergiert.

Nun, welche Art von Konvergenz?

Wenn Sie absolute Werte nehmen, die resultierende Reihe$\sum_n \frac{n}{n^2+1}$weicht ab. Sie können dies wahrscheinlich am schnellsten durch einen Limitvergleich erhalten: Die Bedingungen liegen in der Größenordnung von$1/n$. Außerdem ist der Integraltest hier ziemlich schnell, weil Sie den Logarithmus sehen können.

Um einen Grenzwertvergleich anzuwenden, lassen Sie uns vergleichen$\sum_n \frac{n}{n^2+1}$Zu$\sum_n \frac{1}{n}$. Dividiert man einen Term im ersten durch einen Term im zweiten ergibt

$$(\frac{n}{n^2+1})/(\frac{1}{n}) = \frac{n^2}{n^2+1}.$$ Das Nehmen der Grenze gibt $L=1$. Seit $L>0$, machen beide Serien "dasselbe". Seit $\sum_n \frac{1}{n}$weicht ab, das tut es auch $\sum_n \frac{n}{n^2+1}$.

Daher konvergiert sie bedingt, weil sie konvergiert, die Reihe der absoluten Werte aber nicht.

Man kann den alternierenden Serientest direkt anwenden, aber ein alternativer Ansatz besteht darin, die Differenz mit der Serie zu nehmen$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}/n$die bekanntlich bedingt konvergiert.

Details: let$a_n=(-1)^{n-1} n/(n^2+1)$,$b_n=(-1)^{n-1}/n$Und$c_n=a_n-b_n$. Dann

$$c_n=(-1)^{n-1}\left(\frac n{n^2+1}-\frac1n\right) =\frac{(-1)^n}{n(n^2+1)}.$$ Dann $\sum_n b_n$konvergiert bedingt, und $\sum_n c_n$konvergiert absolut, also $\sum_na_n=\sum_n(b_n+c_n)$konvergiert bedingt.

Bei vielen dieser Art von Problemen kommt es darauf an, gute Grenzen für die Begriffe zu finden. Wenn Sie beispielsweise einen Nenner erhöhen, verringert sich die Größe eines Bruchs (natürlich unter der Annahme, dass Nenner und Zähler positiv sind). Sie können den Nenner erhöhen, indem Sie 1 durch n ersetzen. Dadurch ergibt sich ein kleiner Anteil. Also n/(n ² +1) < n/(n ² +n) . Aber n/(n ² +n)= 1/(n+1), und nach dem Integraltest divergiert das. Da die Absolutwerte größer sind als eine divergierende Reihe, weichen die Absolutwerte voneinander ab.

Wir können den Term auch vergrößern, indem wir den Nenner um 1 verringern, sodass n/n ² = 1/n entsteht.

Der nächste Trick besteht darin, Begriffspaare zu nehmen. Wir wissen, dass wenn n gerade ist, dann b _n = n/(n ² +1) < 1/n. Und wenn n ungerade ist, dann b _n = –n/(n ² +1) < –1/(n+1). Wenn also n gerade ist, dann ist b _n + b _n+1 < 1/n - 1/((n+1)+1)

1/n - 1/((n+1)+1) = 1/n - 1/(n+2) = ((n+2)-n)/n(n+2) = 2/n(n +2)

Wir können nun den Integraltest verwenden, um zu zeigen, dass dies konvergiert. Da die Termpaare kleiner sind als eine konvergierende Reihe, konvergiert sie (beachten Sie, dass, obwohl nicht alle Terme in der ursprünglichen Reihe positiv sind, alle Termpaare einen positiven Betrag ergeben, daher ist dieser Test gültig).