Ist die Reihe ∑∞n=1(−1)n2n+sin(n)∑n=1∞(−1)n2n+sin⁡(n)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{( -1)^n}{2n+\sin(n)} absolut konvergent, konvergent oder divergent?

Question

Ist die Reihe ∑∞n=1(−1)n2n+sin(n)∑n=1∞(−1)n2n+sin⁡(n)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{( -1)^n}{2n+\sin(n)} absolut konvergent, konvergent oder divergent?

Infinitesimalrechnung
Mathematik
absolute Konvergenz
Folgen-und-Serien
Konvergenz-Divergenz

Zain

Ist diese Reihe absolut konvergent, konvergent oder divergent?
$\sum_{N = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{N}}{2 N + Sünde (N)}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+\sin(n)}$

Wie würden wir zeigen, dass dies konvergent ist? Wechselprüfung? Limit-Vergleichstest?

Zuerst habe ich es getan

lim_{N \to \infty} \frac{1}{2 N + Sünde (N)}

$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{2n+\sin(n)}$ was gleich Null ist und

b_{n + 1} < b_{n}

$b_{n+1} < b_{n}$ . Also wissen wir, dass es konvergent ist.

Neben dem Test der absoluten Konvergenz habe ich einen Limit-Vergleichstest durchgeführt.

\sum_{N = 1}^{\infty} | \frac{(- 1)^{N}}{2 N + Sünde (N)} | = \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{1}{2 N + Sünde (N)} .

$\sum_{n=1}^\infty \bigg|\frac{(-1)^n}{2n+\sin(n)}\bigg| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+\sin(n)}\text{ .}$

lim_{N \to \infty} \frac{1 / (2 N + Sünde (N))}{1 / N} = 1 / 2

$\lim_{n\to\infty} \frac{1/(2n+\sin(n))}{1/n} = 1/2$

was größer als Null ist und seit $1/n$ divergiert, dann tut es das auch $1/(2n+\sin(n))$ . Deshalb

\sum_{N = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{N}}{2 N + Sünde (N)}

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+\sin(n)}$ ist bedingt konvergent.

Arturo Magidin

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vb628

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Zain

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GEdgar

Warum

b_{n + 1} < b_{n}

$b_{n+1} < b_n$ ? xpaul erklärt in seiner Antwort.

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Ist die Reihe ∑∞n=1(−1)n2n+sin(n)∑n=1∞(−1)n2n+sin⁡(n)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{( -1)^n}{2n+\sin(n)} absolut konvergent, konvergent oder divergent?

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xpaul · Answer 1

Lassen

A_{N} = \frac{1}{2 N + Sünde (N)} .

$a_n=\frac{1}{2n+\sin(n)}.$ Deutlich

a_{n} > 0

$a_n>0$ Und

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

$\lim_{n\to\infty}a_n=0$ . Seit

2 (N + 1) + Sünde (N + 1) - (2 N + Sünde (N)) = 2 + (Sünde (N + 1) - Sünde (N)) \geq 0,

$2(n+1)+\sin(n+1)-(2n+\sin(n))=2+(\sin(n+1)-\sin(n))\ge0,$ hat man

2 (N + 1) + Sünde (N + 1) \geq 2 N + Sünde (N)

$2(n+1)+\sin(n+1)\ge2n+\sin(n)$ oder

A_{N + 1} = \frac{1}{2 (N + 1) + Sünde (N + 1)} \leq \frac{1}{2 N + Sünde (N)} = A_{N} .

$a_{n+1}=\frac1{2(n+1)+\sin(n+1)}\le\frac1{2n+\sin(n)}=a_n.$ So

{a_{n}}

$\{a_n\}$ nimmt ab. Beim AST,

\sum_{n = 1} (- 1)^{n} a_{n}

$\sum_{n=1}(-1)^na_n$ konvergiert. Seit

A_{N} = \frac{1}{2 N + Sünde (N)} \sim \frac{1}{2 N}

$a_n=\frac{1}{2n+\sin(n)} \sim\frac{1}{2n}$ Und

\sum \frac{1}{2 n}

$\sum\frac{1}{2n}$ divergiert, schließt man

\sum_{n = 1} (- 1)^{n} a_{n}

$\sum_{n=1}(-1)^na_n$ konvergiert bedingt.

Was würden wir tun, um auf absolute Konvergenz oder bedingte Konvergenz zu testen? Ratio- und Root-Tests funktionieren in diesem Fall nicht.

Benutzer65203 · Answer 2

Für groß $n$ , der Begriff $\sin n$ wird vernachlässigbar und Sie erhalten am Ende eine alternierende harmonische Reihe. (Oder Sie können mit drücken

\frac{1}{2 (N + 1)} < \frac{1}{2 N + Sünde N} < \frac{1}{2 (N - 1)} .)

$\frac1{2(n+1)}<\frac1{2n+\sin n}<\frac1{2(n-1)}.)$

Es ist bekannt, dass die harmonische Reihe konvergent ist, aber nicht absolut.

Ist die Reihe ∑∞n=1(−1)n2n+sin(n)∑n=1∞(−1)n2n+sin⁡(n)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{( -1)^n}{2n+\sin(n)} absolut konvergent, konvergent oder divergent?

Zain

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Zain

GEdgar

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xpaul

Zain

xpaul

Benutzer65203

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k konvergiert absolut und ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k konvergiert Tut dies implizieren, dass ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) konvergiert?

Bestimmen Sie, ob ∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}(\frac{n}{n^2+1}) ist absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent.

Alternierende Reihenvariante einer konvergenten Reihe

Satz 3.55 in Baby Rudin: Wie macht man den Beweis sinnvoll?

Beweisen Sie, dass eine konvergente Folge entweder ein Minimum, ein Maximum oder beides hat.

Zeigen Sie, dass ein Verhältnistest für eine bestimmte Reihe nicht schlüssig ist, und bestimmen Sie dann, ob die Reihe konvergiert/divergiert?

Bestimmen Sie, ob die Reihe ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} konvergent oder divergent ist.

Konvergenz einer bestimmten unendlichen Reihe

Parametrische Konvergenz unendlicher Reihen

Ist diese Reihe ∑n=0∞1+sinn10n∑n=0∞1+sin⁡n10n\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1+\sin n}{10^n} divergent oder konvergent? ?