Satz 3.55 in Baby Rudin: Wie macht man den Beweis sinnvoll?

Hier ist Theorem 3.55 in dem Buch Principles of Mathematical Analysis von Walter Rudin, 3. Auflage.

Wenn$\sum a_n$Ist eine Reihe komplexer Zahlen, die absolut konvergiert, dann jede Umordnung von$\sum a_n$konvergiert, und sie konvergieren alle zur gleichen Summe.

Hier ist Rudins Beweis.

Lassen$\sum a_n^\prime$sei eine Umordnung mit Partialsummen$s_n^\prime$. Gegeben$\varepsilon > 0$, gibt es eine ganze Zahl$N$so dass$m \geq n \geq N$impliziert

$$\sum_{i =n}^m \left\vert a_i \right\vert \leq \varepsilon.$$ [Diese Beziehung nennt Rudin (26). ] Wählen Sie nun $p$so dass die ganzen Zahlen $1, 2, \ldots, N$sind alle im Set enthalten $k_1, k_2, \ldots, k_p$(wir verwenden die Notation von Definition 3.52). Dann wenn $n > p$, die Zahlen $a_1, \ldots, a_N$wird in der Differenz stornieren $s_n - s_n^\prime$, so dass $\left\vert s_n - s_n^\prime \right\vert \leq \varepsilon$, durch (26). Somit $\left\{ s_n^\prime \right\}$konvergiert gegen die gleiche Summe wie $\left\{ s_n \right\}$.

Und schließlich ist hier Rudins Definition 3.52.

Lassen$\left\{ k_n \right\}$,$n = 1, 2, 3, \ldots$, sei eine Folge, in der jede positive ganze Zahl einmal und nur einmal vorkommt (d. h.$\left\{ k_n \right\}$ist eine 1-1-Funktion aus$J$auf zu$J$, in der Notation von Definition 2.2). Putten

$$a_n^\prime = a_n \ \ \ (n= 1, 2, 3, \ldots),$$ das sagen wir $\sum a_n^\prime$ist eine Neuordnung von $\sum a_n$.

Und der Vollständigkeit halber verwendet Rudin das Symbol$J$um die Menge der natürlichen Zahlen zu bezeichnen.

Nun ist meine Frage, wie kommt Rudins Beziehung (26) zu dem Schluss, dass$\left\vert s_n - s_n^\prime \right\vert \leq \varepsilon$Wenn$n > p$?

So konnte ich den Beweis verstehen.

Angesichts dessen$\sum \left\vert a_n \right\vert$konvergiert, können wir darauf schließen$\sum a_n$konvergiert auch. Lassen

$$s = \sum_{n =1 }^\infty a_n.$$ Lassen $s_n$, $(n = 1, 2, 3, \ldots)$, seien die Partialsummen von $\sum a_n$. Dann $$s = \lim_{n \to \infty} s_n.$$ Nun lass $\sum a_n^\prime$sei eine Neuordnung von $\sum a_n$, und lass $s_n^\prime$, $(n = 1, 2, 3, \ldots)$, seien die Partialsummen von $\sum a_n^\prime$.

Das zeigen wir

$$\lim_{n \to \infty} s_n^\prime = s$$ sowie. Jetzt als $s_n \to s$als $n \to \infty$, also gegeben $\varepsilon > 0$, können wir eine natürliche Zahl finden $N_1$so dass $$\left\vert s_n - s \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}$$ für alle $n \in \mathbb{N}$so dass $n > N_1$.

Jetzt als$\sum \left\vert a_n \right\vert$konvergiert, sodass wir eine natürliche Zahl finden können$N_2$so dass

$$\sum_{i =n}^m \left\vert a_i \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}$$ für alle $m, n \in \mathbb{N}$so dass $m \geq n \geq N_2$. Das können wir also schlussfolgern $$\left\vert \sum_{i=n}^m a_i \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}$$ für alle $m, n \in \mathbb{N}$so dass $m \geq n \geq N_2$.

Nun lass$N = \max \left\{ N_1, N_2 \right\}$. Dann für alle$m, n \in \mathbb{N}$so dass$m \geq n > N$, wir haben

$$\left\vert s_n - s \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}$$ und auch $$\left\vert \sum_{i=n}^m a_i \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}.$$

Nun lass$p$eine natürliche Zahl sein, so dass die ganzen Zahlen$1, 2, \ldots, N$sind alle im Set enthalten$\left\{ k_1, \ldots, k_p \right\}$. Dann für alle$n \in \mathbb{N}$so dass$n > p$, sehen wir, dass der Unterschied$s_n - s_n^\prime$ist eine Summe einiger endlich vieler Terme der Folge$\left( a_{N+1}, a_{N+2}, a_{N+3}, \ldots\right)$, und deshalb

$$\left\vert s_n - s_n^\prime \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}.$$

Also wenn$n \in \mathbb{N}$ist so das$n > \max \{ N, p \}$, dann haben wir

$$\left\vert s_n - s_n^\prime \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}$$ und auch $$\left\vert s_n - s \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}.$$ Daher für alle $n \in \mathbb{N}$so dass $n > \max \{ N, p \}$, wir haben $$\left\vert s_n^\prime - s \right\vert \leq \left\vert s_n^\prime - s_n \right\vert + \left\vert s_n - s \right\vert < \varepsilon,$$ woraus folgt $$\lim_{n \to \infty} s_n^\prime = s$$ Auch.

Ist mein Verständnis des Beweises von Theorem 3.55 in Baby Rudin richtig? Wenn ja, ist meine Version dann dieselbe wie die von Rudin? Wenn nicht, wo habe ich mich geirrt?

Und wenn mein Beweis auch richtig ist, sich aber von Rudins unterscheidet, kann jemand hier bitte die Details in Rudins Originalbeweis für mich ausfüllen? Danke.