Absolut konvergente Reihe komplexer Funktionen.

Folgende Übung muss ich machen:

Lassen$\{f_n(z)\}_{n\in\mathbb{N}}$eine Folge komplexer Funktionen, und let$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$.

Beweisen Sie: Wenn$\sum_{n=1}^\infty |f_n(z)|$konvergiert dann$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$konvergiert.

Ich weiß, wie man es für eine Serie beweist$\sum_{n=1}^\infty z_n$von komplexen Zahlen mit$z_n=x_n+iy_n$weil wenn$\sum_{n=1}^\infty |z_n|$konvergiert, das kann man beobachten$|x_n|<|z_n|$Und$|y_n|<|z_n|$dann durch die Vergleichskriterien die reellen Zahlenreihen$\sum_{n=1}^\infty |x_n|$Und$\sum_{n=1}^\infty |y_n|$konvergieren und wir wissen für reelle Reihen, dass dies dies impliziert$\sum_{n=1}^\infty x_n$Und$\sum_{n=1}^\infty y_n$konvergieren.

Wenn wir anrufen$R_n=\sum_{k=1}^n x_n$,$I_n=\sum_{k=1}^n y_n$Und$S_n=\sum_{k=1}^n z_n$.

Und$\lim_{n \rightarrow \infty}R_n=x$,$\lim_{n \rightarrow \infty}I_n=y$, Dann

Dann$S_n$konvergiert und$\sum_{n=1}^\infty z_n$tut es auch.

Reicht es anzurufen$\{w_n\}=\{f_n(z)\}$in meinem ursprünglichen Problem und wenden Sie einfach diesen Beweis an?

Vielen Dank im Voraus.