Alternierende Reihen - Bestimmen Sie, ob es absolut, bedingt oder divergierend konvergiert, indem Sie den alternierenden p-Reihentest verwenden

Question

Alternierende Reihen - Bestimmen Sie, ob es absolut, bedingt oder divergierend konvergiert, indem Sie den alternierenden p-Reihentest verwenden

Mathematik
divergente Reihe
absolute Konvergenz
Sequenzen-und-Serien
Konvergenz-Divergenz
Bedingte Konvergenz

Minnos

Ich versuche festzustellen, ob die Serie

$\sum _{n=0}^{\infty }\:\left(-1\right)^n\frac{1}{\sqrt{n}\left(ln\left(n\right)^{2021}\right)}$

ist bedingt konvergent, absolut konvergent oder divergent. Bisher habe ich das mit P-Serien-Tests geglaubt $\frac{1}{\sqrt{n}\left(ln\left(n\right)^{2021}\right)}$ nimmt ab, denn p=1/2ich habe mich gefragt, ob wir möglicherweise argumentieren können, dass diese Reihe bedingt divergent ist oder nicht?

Asche999

Ich gebe dir recht, bin mir aber nicht sicher. Sich fragen, was andere denken.

Kenta S

Ja, es ist bedingt konvergent. Erinnere dich daran

\ln (n)

$\ln(n)$ ist super klein im Vergleich zu

n

$n$ , also für groß genug

n

$n$ , wir haben

\sqrt{n} (\ln n)^{2021} < n^{2 / 3}

$\sqrt n(\ln n)^{2021}<n^{2/3}$ , zum Beispiel.

Antworten (1)

Alternierende Reihen - Bestimmen Sie, ob es absolut, bedingt oder divergierend konvergiert, indem Sie den alternierenden p-Reihentest verwenden

Ich gebe dir recht, bin mir aber nicht sicher. Sich fragen, was andere denken.
Ja, es ist bedingt konvergent. Erinnere dich daran $\ln(n)$ ist super klein im Vergleich zu $n$ , also für groß genug $n$ , wir haben $\sqrt n(\ln n)^{2021}<n^{2/3}$ , zum Beispiel.

absolut0 · Answer 1

Du solltest nehmen $\sum_{n=2}^\infty \cdots$ . $\sqrt{n}\ln(n)^{2021}=2021\sqrt{n}\ln(n)$ ist eine zunehmende Funktion von $n$ was geht $+\infty$ als $n$ steigt (kann leicht überprüft werden), also $\frac{1}{2021\sqrt{n}\ln(n)}$ nimmt ab und geht zu $0$ als $n$ erhöht sich. Daher ist es bedingt konvergent.

$\sqrt{n} <n$ So $\frac{1}{2021\sqrt{n}\ln(n)}>\frac{1}{2021 ~n\ln(n)}$ .
$\frac{1}{2021\sqrt{n}\ln(n)}$ weicht seitdem ab $\frac{1}{2021 ~n\ln(n)}$ divergiert (was bekannt ist). Gegebene Reihen sind nicht absolut konvergent.

Alternierende Reihen - Bestimmen Sie, ob es absolut, bedingt oder divergierend konvergiert, indem Sie den alternierenden p-Reihentest verwenden

Minnos

Asche999

Kenta S

Antworten (1)

absolut0

Bestimmen Sie, ob ∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}(\frac{n}{n^2+1}) ist absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent.

Bestimmen Sie, ob die Reihe absolut konvergiert, bedingt konvergiert oder divergiert.

Bestimmen Sie, ob die Reihe absolut, bedingt oder divergiert.

Satz 3.55 in Baby Rudin: Wie macht man den Beweis sinnvoll?

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k konvergiert absolut und ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k konvergiert Tut dies implizieren, dass ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) konvergiert?

Zeigen Sie, dass ein Verhältnistest für eine bestimmte Reihe nicht schlüssig ist, und bestimmen Sie dann, ob die Reihe konvergiert/divergiert?

Bestimmen Sie, ob die Reihe ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} konvergent oder divergent ist.

Bestimmen Sie, ob diese Reihe absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent ist?

Abwechselnde Kombination einer konvergenten und einer divergenten Reihe

Habe ich die Konvergenz dieser Reihe richtig verifiziert?