Abwechselnde Kombination einer konvergenten und einer divergenten Reihe

Ich kämpfe seit Tagen mit dieser Frage und habe das Gefühl, dass mir etwas Einfaches fehlt. Ich kann intuitiv sehen, warum das Ergebnis wahr ist, aber ich kann keinen Beweis finden. Die Frage lautet wie folgt:

Lassen$a_n$Und$b_n$nicht negative Zahlen sein, so dass$\sum_{n=1}^\infty a_n$weicht ab und$\sum_{n=1}^\infty b_n$konvergiert. Definiere eine Reihe$(s_n)_n$indem man es einstellt$s_1 = a_1$,$s_2 = a_1-b_1$Und$s_3 = a_1-b_1+a_2$und so weiter für allgemein$n\geq 2$:

$s_{2n-1} = a_1 - b_1 + a_2 - b_2 + ... + (a_{n-1}-b_{n-1}) + a_n$

$s_{2n} = a_1 - b_1 + a_2 - b_2 + ... + (a_n - b_n)$

Zeige, dass$(s_n)_n$weicht ab.

Ich habe Mühe, die Informationen über die zu nutzen$a_n$Und$b_n$Serie. Alles, was mir einfällt, beinhaltet die Neuordnung der Summe, aber so wie ich es verstehe, kann ich dies nicht tun, da die Neuordnung nicht unbedingt gültig ist, wenn die Summen gehen$\infty$.

Der einzige Versuch, den ich hatte, bestand darin, mich separat auf die ungeraden und geraden Teilfolgen zu konzentrieren. Ich habe festgestellt, dass für die gerade Teilfolge der Unterschied zwischen den Begriffen besteht$a_n - b_n$und für die ungerade Teilfolge$a_{n+1}-b_n$. Das kenne ich aus dem ersten Vergleichstest$a_n$muss größer sein als$b_n$für unendlich viele Terme bzw$\sum_{n=1}^\infty a_n$wäre konvergent. Soweit ich sehen kann, bedeutet dies, dass die Differenz zwischen den Begriffen unendlich oft positiv ist, aber es könnte noch mehr Male geben, in denen sie negativ ist, sodass ich nicht sehe, wie ich daraus schließen soll, dass die Summen immer größer werden.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand einen Hinweis auf die richtige Richtung geben könnte.