Bestimmen Sie, ob diese Reihe absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent ist?

Question

Bestimmen Sie, ob diese Reihe absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent ist?

Analyse
Mathematik
divergente Reihe
Folgen-und-Serien
Konvergenz-Divergenz

Sportler

Die Serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n^2 + 1}$ ; ist es absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent?

Diese Frage soll einige Punkte wert sein, also dachte ich, ich hätte die Antwort mit dem Vergleichstest gefunden, aber ich denke, ich sollte den Wechselserientest einbauen.

Antworten (2)

Bestimmen Sie, ob diese Reihe absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent ist?

Benutzer127.0.0.1 · Answer 1

Benutzer127.0.0.1

Ihre Reihe ist nach dem Leibniz-Theorem konvergent, aber nicht absolut konvergent, wie Sie im Vergleich sehen können $\sum \frac{1}{n+1}$

Sportler

Ich betrachtete den Modul der Folge

\frac{(- 1)^{n} n}{n^{2} + 1}

$\frac{(-1)^n n}{n^2 + 1}$ welches ist

\frac{n}{n^{2} + 1}

$\frac{n}{n^2 + 1}$ und fand dann die Grenze des Moduls von

\frac{(a_{(} n + 1))}{a_{n}}

$\frac{(a_(n+1))}{a_n}$ was ich für 0 hielt - ist das richtig?

Benutzer127.0.0.1

Nein, dafür solltest du 1 bekommen. Einfach schreiben

\frac{n}{n^{2} + 1} = \frac{1}{n + 1 / n}

$\frac{n}{n^2+1} = \frac{1}{n+1/n}$ also das ist doch klar

a_{n} \to 0

$a_n\rightarrow 0$ . Aber das muss man zeigen

a_{n}

$a_n$ monoton fallend (z

n > 1

$n\gt1$ )

Sportler

Wie ist die Grenze 1? Sollte es nicht größer als 1 sein, würde es in diesem Fall durch den Test divergieren.

Sportler

eigentlich verstehe ich was du meinst. Wie würde ich es aber mit 1/n+1 vergleichen? Welchen Test müsste ich verwenden?

Benutzer127.0.0.1

Du hast

\frac{n + 1}{(n + 1)^{2} + 1} \frac{n^{2} + 1}{n} = \frac{n^{3} + n^{2} + n + 1}{n^{3} + 2 n^{2} + 2 n} \to 1

$\frac{n+1}{(n+1)^2+1}\frac{n^2+1}{n} = \frac{n^3+n^2+n+1}{n^3+2n^2+2n}\rightarrow 1$ Der Verhältnistest funktioniert hier also nicht. Ich habe dir in meiner Antwort gesagt, was du tun sollst!

Benutzer127.0.0.1

\frac{n}{n^{2} + 1} = \frac{1}{n + 1 / n} > \frac{1}{n + 1}

$\frac{n}{n^2+1}=\frac{1}{n+1/n}\gt\frac{1}{n+1}$

Sportler

Ich verstehe, ich wollte nur verstehen, was genau ich tun soll.

Mikasa · Answer 2

Der Weg von @Fant ist praktisch, aber vielleicht hilft auch dieser Ansatz:

Verwenden Sie den Integraltest . Als $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ ist positiv monoton fallende Funktion an $x\geq 2$ , also der Integraltest dann $\sum_2^{\infty}f(n)$ konvergiert oder divergiert, wenn $\int_2^{\infty}f(x)dx$ konvergiert oder divergiert. Aber das Integral divergiert eindeutig, also haben wir hier wieder das, was @Fant notiert hat.

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Mikasa

Habe ich die Konvergenz dieser Reihe richtig verifiziert?

Satz 3.55 in Baby Rudin: Wie macht man den Beweis sinnvoll?

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k konvergiert absolut und ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k konvergiert Tut dies implizieren, dass ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) konvergiert?

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Abwechselnde Kombination einer konvergenten und einer divergenten Reihe

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