Habe ich die Konvergenz dieser Reihe richtig verifiziert?

Question

Habe ich die Konvergenz dieser Reihe richtig verifiziert?

Analyse
Mathematik
Realanalyse
divergente Reihe
Sequenzen-und-Serien
Konvergenz-Divergenz

bijonne

Ich möchte herausfinden, ob die folgende Reihe konvergent ist.

\sum_{N = 1}^{\infty} \frac{(1 + \frac{1}{N})^{N} N^{2} - 7 N}{N^{3} + 3 N^{2} + 1}

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(1+\frac{1}{n})^nn^2-7n}{n^3+3n^2+1}$

Ich verwende das asymptotische Kriterium für die Reihenkonvergenz.

A_{N} = \frac{(1 + \frac{1}{N})^{N} N^{2} - 7 N}{N^{3} + 3 N^{2} + 1}

$a_n=\frac{(1+\frac{1}{n})^nn^2-7n}{n^3+3n^2+1}$

Ich nehme solche $b_n$ Das $a_n$ Und $b_n$ asymptotisch ähnlich sind und dass die Konvergenz von $\sum_{n=1}^\infty b_n$ ist bekannt.

B_{N} = \frac{1}{N}

$b_n=\frac{1}{n}$

lim_{N \to \infty} \frac{A_{N}}{B_{N}} = lim_{N \to \infty} \frac{(1 + \frac{1}{N})^{N} N^{2} - 7 N}{N^{3} + 3 N^{2} + 1} \frac{N}{1} = lim_{N \to \infty} \frac{(1 + \frac{1}{N})^{N} N^{3} - 7 N^{2}}{N^{3} + 3 N^{2} + 1}

$\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^nn^2-7n}{n^3+3n^2+1} \frac {n}{1}=\lim_{n\to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^nn^3-7n^2}{n^3+3n^2+1}$

Die Grenze ist $e$ was das beweist $a_n \sim b_n$ .

Dann seit $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ ist abweichend, so ist die ursprüngliche Serie.

Ich wäre dankbar, wenn jemand dies überprüfen und mir sagen könnte, ob diese Lösung richtig ist.

mfl

Ihre Argumentation ist richtig.

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Habe ich die Konvergenz dieser Reihe richtig verifiziert?

grauvater · Answer 1

Deine Schlussfolgerung ist richtig. Bei Interesse könnten Sie auch mit dem Vergleichstest dorthin gelangen. Das nämlich

1 < {(1 + \frac{1}{N})}^{N} \frac{1}{N^{3} + 3 N^{3} + N^{3}} \leq \frac{1}{N^{3} + 3 N^{2} + 1}

$1 < \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \\ \frac{1}{n^3+3n^3+n^3}\leq \frac{1}{n^3+3n^2+1}$ für alle

n \geq 1

$n \geq 1$ . Somit,

\sum_{N = 1}^{\infty} \frac{(1 + \frac{1}{N})^{N} N^{2} - 7 N}{N^{3} + 3 N^{2} + 1} \geq \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{N^{2} - 7 N}{N^{3} + 3 N^{2} + 1} \geq \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{N^{2} - 7 N}{N^{3} + 3 N^{3} + N^{3}} = \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{N^{2} - 7 N}{5 N^{3}} = \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{1}{5 N} - \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{7}{5 N^{2}} = \frac{1}{5} \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{1}{N} - \frac{7 π^{2}}{30}

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(1+\frac{1}{n})^nn^2-7n}{n^3+3n^2+1} \geq \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2-7n}{n^3+3n^2+1} \\ \geq \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2-7n}{n^3+3n^3+n^3} \\ = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2-7n}{5n^3} \\ = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5n}-\sum_{n=1}^\infty\frac{7}{5n^2} \\ = \frac{1}{5}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}-\frac{7\pi^2}{30}$

Können Sie zeigen, wie $\sum_{n=1}^\infty \frac{7}{5n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{7 \pi}{30}$ ?
Leider kann ich nicht viel besser tun, als zu sagen, dass es daran liegt $\sum_{N = 1}^{\infty} \frac{1}{N^{2}} = \frac{π^{2}}{6}$ $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ daher, wenn Sie mit multiplizieren $\frac{7}{5}$ Sie erhalten das Ergebnis. Aber die Tatsache, dass $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ kommt von der Riemann-Zeta-Funktion. Es ist nicht etwas, auf das Sie wahrscheinlich stoßen würden, bis Sie einiges an komplexer Analyse behandelt haben. Die Riemann-Zeta-Funktion ist ein nützliches Werkzeug, um den Wert von Summen der Form zu bestimmen $\sum_{N = 1}^{\infty} \frac{1}{N^{S}}$ $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ Wo $s$ ist eine beliebige komplexe Zahl ungleich $1$ .

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bijonne

mfl

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grauvater

bijonne

grauvater

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