Grenzwert der Folge gegeben durch xn+1=xn−xn+1nxn+1=xn−xnn+1x_{n+1}=x_n-x_n^{n+1}

Lassen , X 1 ∈ ( 0 , 1 ) eine reelle Zahl sein. Für N > 1 definieren X N + 1 = X N − X N N + 1 . Dann beweisen Sie das lim N → ∞ X N existiert.

Wir müssen beweisen, dass die gegebene Folge { X N } ist konvergent. Also müssen wir das zeigen { X N } ist monoton und beschränkt.

Ich habe bewiesen, dass die Folge monoton fallend ist. Aber ich kann nicht zeigen, dass es nach unten begrenzt ist. Wie kann ich es zeigen?

Gibt es eine andere Möglichkeit zu beweisen, dass die Grenze existiert?

0 ≤ X ≤ 1 ⟹ 0 ≤ X N ≤ X .

Antworten (1)

Das zeigen wir per Induktion X N ∈ ( 0 , 1 ) für alle N :

Der Fall N = 1 ist klar.

Nun lass N ∈ N Und X N ∈ ( 0 , 1 )

Dann: X N + 1 = X N ( 1 − X N N ) . Aus X N ∈ ( 0 , 1 ) wir bekommen X N N ∈ ( 0 , 1 ) und deshalb 1 − X N N ∈ ( 0 , 1 ) .

Folge: X N + 1 ∈ ( 0 , 1 ) .

Grenzwert der Folge gegeben durch xn+1=xn−xn+1nxn+1=xn−xnn+1x_{n+1}=x_n-x_n^{n+1}
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