Warum kann der Verhältnistest nicht für geometrische Reihen verwendet werden?

Der übliche Beweis für den Verhältnistest besteht darin, die Reihe mit einer geometrischen Reihe zu vergleichen. Wenn

$$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \alpha < 1,$$ dann haben wir $$|a_{n+1}| < |a_n| \alpha$$ für alle ausreichend groß $n$. Dann folgt aus einem Induktionsbeweis, dass $$|a_{n+k}| < |a_n| \alpha^k$$ für $n$ausreichend groß, was bedeutet, dass $$\sum_{j=1}^{\infty} |a_j| = \sum_{j=1}^{n-1} |a_j| + \sum_{j=n}^{\infty} |a_j| \le \sum_{j=1}^{n-1} |a_j| + \sum_{k=0}^{\infty} |a_n| \alpha^k.$$ Die erste Reihe hat nur endlich viele Glieder und ist daher endlich, und die zweite Reihe ist geometrisch und konvergiert daher durch ein anderes Argument. Daraus folgt, wenn $$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1, \qquad\text{then}\qquad \sum_{j=1}^{\infty} a_j$$ konvergiert (z. B. durch den Grenzwertvergleichstest). Die andere Ungleichheit im Verhältnistest kann argumentiert werden, indem festgestellt wird, dass der allgemeine Term nicht auf Null geht, und die Unsicherheit bei 1 kann argumentiert werden, indem (zum Beispiel) die harmonische und alternierende harmonische Reihe betrachtet werden.

Der entscheidende Punkt ist, dass wir beweisen, dass der Verhältnistest die Konvergenz von Reihen im Vergleich zu einer konvergenten geometrischen Reihe impliziert. Da der Beweis des Verhältnistests auf dieser Konvergenz beruht, ist es ein Zirkelschluss zu argumentieren, dass eine geometrische Reihe durch den Verhältnistest konvergiert (es sei denn, Sie haben natürlich einen anderen Beweis für den Verhältnistest, der die Konvergenz geometrischer Reihen nicht nutzt ).

Während man den Verhältnistest verwenden könnte, um die Konvergenz einer geometrischen Reihe festzustellen (es gibt nichts, was uns aufhält!), ist es typischerweise schlechter Stil, sich auf Zirkelschlüsse zu verlassen, da dies (potenziell) dazu führen kann, dass wichtige Hypothesen oder Ausnahmefälle übersehen werden . Dies ist besonders wichtig in einem pädagogischen Umfeld, wenn sich die Schüler der Argumentation, die zu einem Ergebnis führt, möglicherweise nicht vollständig bewusst sind (es ist schwierig, alle Lemmata, Theoreme und Beweise zu verfolgen, die zu einem Ergebnis führen wenn es das erste Mal ist, dass Sie damit zu tun haben).

Außerdem sehe ich nicht ein, warum man den Verhältnistest verwenden sollte, um zu zeigen, dass eine geometrische Reihe konvergiert . Grundsätzlich ist keine Berechnung erforderlich, um zu zeigen, dass eine geometrische Reihe konvergiert, während einige Rechenschritte erforderlich sind, um den Verhältnistest aufzurufen.

Wir können es nicht mit Sicherheit wissen (es sei denn, der Kontext aus den Anmerkungen, die Sie ausgelassen haben, sagt etwas über das Thema aus), aber die verschiedenen Kommentare, die in diesem Thema erscheinen, legen eine Erklärung nahe.

Zwei Haupttätigkeiten von Mathematikern (und Personen, die Mathematik anwenden) sind:

• Verwenden mathematischer Werkzeuge, um Berechnungen durchzuführen und Dinge zu beweisen
• Entwerfen und Validieren der im obigen Aufzählungspunkt verwendeten mathematischen Werkzeuge

Der Verhältnistest ist ein Beispiel für ein solches mathematisches Werkzeug und lässt sich perfekt auf geometrische Reihen anwenden. Es kann sogar das bevorzugte Werkzeug sein, um zu entscheiden, wann eine geometrische Reihe konvergiert, einfach um die Anzahl der Dinge zu reduzieren, die man sich merken muss.

Wenn Sie jedoch gerade dabei sind, den Verhältnistest zu validieren, wäre es nicht gültig, den Verhältnistest zu verwenden, um einen der Fakten zu rechtfertigen, die Sie bei seiner Validierung benötigen – z. B. wenn geometrische Reihen konvergieren . Sie müssten die Tatsachen über geometrische Reihen zuerst auf andere Weise herleiten.

Was Ihre Notizen betrifft, sind die wahrscheinlichsten Erklärungen:

• Sie lesen Hinweise zur Validierung des Verhältnistests
• Sie haben die Anmerkungen falsch verstanden
  • Möglicherweise, weil der Autor es versäumt hat, seine Bedeutung tatsächlich zu vermitteln
• Der Autor dieser Notizen war verwirrt

Um auf diesen letzten Punkt näher einzugehen, bleiben die Leute oft in der Denkweise des „Werkzeugbaus“ stecken. Ein beträchtlicher Teil des Mathematikunterrichts beinhaltet die Validierung der Tools, mit denen man bereits vertraut ist, was erfordert, dass die Verwendung dieser Tools vorübergehend ausgesetzt wird, damit wir sehen können, wie sie aus grundlegenderen Tools aufgebaut werden können – und manchmal lernen die Leute die falsche Lektion und denken, dass dies der Fall ist etwas, was man immer tun muss.

Wenn also Fakten über die Konvergenz geometrischer Reihen im Beweis des Verhältnistests vorkommen, führt dies manchmal dazu, dass die Leute fälschlicherweise denken, dass jedes Mal, wenn das Thema der Konvergenz geometrischer Reihen auftaucht, sie ihre Verwendung des Verhältnistests einstellen und mehr argumentieren müssen Basiswerkzeug.

Bei geometrischen Reihen ist die Ratio-Prüfung nicht unzulässig. Ihre Hypothesen schließen geometrische Reihen nicht aus, daher gilt sie, und ihr Beweis muss dies unterstützen.

Eine gängige Beweisstruktur wäre:

Satz A: Geometrische Reihen konvergieren. Beweis: direktes Argument.

Theorem B: Verhältnistest mit üblichen Hypothesen. Beweis: Zeigen Sie, dass dies durch Satz A wie in der Antwort von Xander Henderson impliziert wird .

Natürlich kann der Beweis von Theorem A Theorem B nicht verwenden, sonst haben wir einen Zirkelschluss. Zweifellos versuchen Ihre Notizen dies auszudrücken.

Sobald wir jedoch einen gültigen Beweis von Theorem B haben, gilt er sicherlich für geometrische Reihen:

Satz C: Geometrische Reihen konvergieren. Beweis: Satz B.

Dieser Beweis von Theorem C mag absurd indirekt erscheinen: Warum sollten wir Theorem A nicht einfach zitieren? Nun, bedenke:

Satz D: ein anderer Satz, dessen Hypothesen die des Verhältnistests implizieren. Beweis: Satz B.

Es wäre sehr ärgerlich und vor allem unnötig, stattdessen zu schreiben:

Satz D: ein anderer Satz, dessen Hypothesen die des Verhältnistests implizieren. Beweis: Wenn die Reihe geometrisch ist, dann siehe Theorem A. Ansonsten gilt Theorem B.

Sobald wir einen gültigen Beweis für den Verhältnistest haben , kann er auf jede Reihe angewendet werden, wenn er die Hypothesen erfüllt, einschließlich geometrischer Reihen. Dabei spielt es keine Rolle , wie der Ratio-Test bewiesen wurde. Dies ist keineswegs ein Zirkelschluss, auch wenn der verwendete Beweis auf geometrische Reihen hinausläuft. Die Idee des Zirkelschlusses ist ein logischer Irrtum, aber darum geht es hier nicht . Wir nehmen nicht an, was wir zu beweisen versuchen. In der Tat, wenn wir Aussagen annehmen dürfen$A$weil es uns gegeben ist, dann der Beweis$A$ist unmittelbar aus unserer gegebenen Annahme. Dies ist kein Zirkelschluss, da wir explizit Statement verwenden dürfen$A$die uns irgendwie zur Nutzung gegeben ist.

Das OP gab einen Link zu Kursnotizen, in denen es heißt: „Wir können nicht beweisen, dass es sich um eine geometrische Reihe handelt$\sum r^k$konvergent/divergent ist, indem der Verhältnistest angewendet wird. Warum nicht?“ Das ist ein überzeugendes Argument, nicht wahr? Trotz der Hypothesen für den „D'Alembert's Ratio Test“ werden alle positiven geometrischen Reihen erfüllt.