Eine konvergente Folge {an}{an}\{a_n\} und eine divergente Folge {bn}{bn}\{b_n\}, sodass {an+bn}{an+bn}\{a_n+b_n\} konvergent ist

Geben Sie ein Beispiel für eine konvergente Folge an { A N } und abweichende Folge { B N } so dass { A N + B N } ist eine konvergente Reihe.

Ich versuche seit ein paar Tagen, diese Frage zu lösen, und habe Probleme, ob mir jemand einen Hinweis geben oder mir zeigen könnte, wie Sie zu Ihrer Antwort gekommen sind, da ich der Meinung bin, dass dies nicht lösbar ist, aber die Frage besagt, dass ich es haben muss ein Beispiel. Vielen Dank im Voraus, Mathe-Student :)

Wer hat dich das gefragt? Es ist unwahrscheinlich, dass Sie ein Beispiel finden, es ist nicht möglich.
Wie Nayuki betonte, stellen Ihr Titel und Ihr Text auf subtile, aber entscheidende Weise unterschiedliche Fragen. Soll die Summe eine konvergente Folge oder eine konvergente Reihe sein ? (Und worum geht es übrigens { A N } Und { B N } ?)
Sie müssen sich noch entscheiden, ob Sie "Sequenz" oder "Serie" meinen; Ich habe lediglich Ihr LaTeX und Ihren Titel verbessert.

Antworten (3)

Annehmen A N + B N konvergiert. Seit A N konvergiert, A N + B N − A N konvergiert, im Widerspruch zu der Tatsache, dass B N konvergiert nicht.

Berücksichtigt Ihre Antwort die Tatsache, dass in der Frage A N ist eine konvergente Folge , B N ist eine divergente Folge , und A N + B N ist eine konvergente Reihe ?
@Nayuki Wenn du mit konvergenter Serie meinst, dass die Serie vorbei ist A N + B N , dh ∑ ich = 1 ∞ ( A ich + B ich ) , konvergiert, dann impliziert dies, dass die Folge ( A N + B N ) konvergiert.
{ A N },{ B N }, Und { A N + B N } sind alles Sequenzen, tut mir leid, dass ich das weggelassen habe

Das ist nicht möglich. Angenommen, es wäre so, dann haben wir eine konvergente Folge A N + B N , Und A N . Wir wissen, dass die Differenz konvergenter Folgen selbst konvergent ist. Das bedeutet wenn A N + B N konvergiert und A N konvergiert dann A N + B N − A N konvergiert, aber das bedeutet das B N konvergiert, was unserer Hypothese widerspricht, also nein, das geht nicht.

Sie können jedoch zwei divergente Folgen zu einer konvergenten summieren. Nimm einfach A N = ( N ) Und B N = ( − N ) was uns gibt A N + B N = ( 0 ) , und die Nullfolge ist eine konstante Folge, die trivial konvergent ist.

Da Sie nach einem Beispiel gesucht haben und keines gefunden werden konnte, aber keine Antwort akzeptiert wurde, kann ich dies als Beispiel für eines anbieten ... obwohl es im Kontext des Tags echte Analyse möglicherweise nicht angemessen ist .

Lassen ∀ ich : A ich , B ich ∈ Z [ 1 2 ] / Z die dyadischen Rationale im Intervall ( 0 , 1 ]

Betrachten Sie dann die Folgen:

Die konvergente Folge B N = 1 2 , 3 4 , 7 8 , 15 16 … → 1

und die divergente Folge 1 − B N

Ihre Summe ist die konstante Folge 1 , 1 , 1 … der zusammenläuft ( 0 , 1 ] .

Eine konvergente Folge {an}{an}\{a_n\} und eine divergente Folge {bn}{bn}\{b_n\}, sodass {an+bn}{an+bn}\{a_n+b_n\} konvergent ist
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