Wenn für holomorphe Funktionen {fn}→f{fn}→f\{f_n\}\to f gleichmäßig auf kompakten Mengen ist, dann gilt dasselbe für die Ableitungen.

Lassen$K \subset \Omega$kompakt sein. Seit$\Omega$ist offen, für einige$\epsilon>0$, wir haben$K_\epsilon = K+\overline{B(0,2\epsilon)} \subset \Omega$, und der Satz$K_\epsilon$ist kompakt.

Vermuten$a \in K$. Dann haben wir$f'(a) = {1 \over 2 \pi i} \int_{\gamma_a} { f(z) \over (z-a)^2 } dz$Und$f_n'(a) = {1 \over 2 \pi i} \int_{\gamma_a} { f_n(z) \over (z-a)^2 } dz$Wo$\gamma_a$ist ein Radiuskreis gegen den Uhrzeigersinn$\epsilon$zentriert bei$a$.

Seit$f_n \to f$gleichmäßig an$K_\epsilon$, und wir haben$|f'(a)-f_n'(a)| \le {1 \over 2 \pi } {l(\gamma_a) \over \epsilon^2} \sup_{z \in K_\epsilon} |f(z) -f_n(z)|$, wir sehen das$f_n' \to f'$gleichmäßig an$K$sowie.

Es folgt dem$f_n^{(k)} \to f^{(k)}$gleichmäßig an$K$für alle$k$.

Nicht zu ernst nehmen! Der Raum$H(\Omega)$von holomorphen Funktionen auf$\Omega$mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen ausgestattet ist vollständig und daher ein Frechet-Raum. Wenn Sie wissen, dass die Ableitung einer holomorphen Funktion wieder holomorph ist, erhalten Sie aus dem geschlossenen Graphensatz die lineare Abbildung$D:H(\Omega)\to H(\Omega)$,$f\mapsto f'$ist kontinuierlich. Das$D$Geschlossener Graph folgt zB aus seiner Stetigkeit als Landkarte$H(\Omega)\to C(\Omega)$.