Was genau sind die Unterschiede zwischen echten Grenzwerten mit mehreren Variablen und komplexen Grenzwerten?

1. Was ich verstehe, ist eine Definition von$\lim_{z \to z_0}f(z) = L$ist wie folgt. Ist das richtig?

   • 1.1.

   Lassen$f=u+iv$eine komplexe Funktion sein, die irgendwann in einer offenen gelöschten Nachbarschaft definiert ist$z_0=(x_0,y_0) \in \mathbb C$.

   • 1.2. Ich verstehe, dass das obige übersetzt wird

   Lassen$G \subseteq \mathbb C$. Lassen$z_0=(x_0,y_0) \in \mathbb C$. Lassen$f: G \to \mathbb C$. Lassen$U$Seien Sie eine offene Nachbarschaft von$z_0$mit$U \ \setminus \{z_0\} \subseteq G$. Wir haben$f=u+iv$, für$u,v: G \to \mathbb R$.

   • 1.3. Dann$\lim_{z \to z_0}f(z) = L$ist definiert als beide ff wahr sind

wobei die reelle Grenzwertdefinition der reellen Multivariable gilt.

2. Anscheinend ist das obige eine äquivalente Definition der ursprünglichen Definition von$\lim_{z \to z_0}f(z) = L$was so etwas wie gegeben ist ...

   Für alle$\varepsilon > 0$, es existiert$\delta > 0$st$|f(z)-L| < \varepsilon$wann immer$0 < |z-z_0| =$ $\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$ $< \delta$ ABER anscheinend ...

... wir beschränken uns nicht nur auf$z=(x,y) \in$( entweder$G$oder$U$oder$U \ \setminus \ \{(z_0)\}$. Ich finde$U$. ) oder etwas anderes im Fall für echte multivariable Grenzen ? Was ist los? Wie funktioniert '$f(z)$' sinnvoll, wenn Sie nicht haben$z \in Domain(f)=G$? Und dann trifft das vielleicht sogar auf (1) oben zu.

2.1. UPDATE 1 : Ich habe zwar ein Lehrbuch außerhalb unseres Lehrplans gefunden, in dem es darum geht$z \in G$(von$G$ich meine Domäne von$f$), Ich habe gerade ein Lehrbuch in unserem Lehrplan (Brown Churchill) ausgecheckt, das anscheinend nicht vorhanden ist$z \in G$. Was ist bitte los?

• UPDATE 2 : das nächste, was ich je gesehen habe$z \in G$ist das$z$'hat ein Bild w', aber ich glaube nicht, dass es unbedingt bedeutet$z \in G$... oder idk ... ich denke, "hat ein Bild von w" ist eher eine Annahme als eine Andeutung$z \in G$

3. Insbesondere, was erhalten wir als Unterschied im Fall von$v=0$, dh$f=u$, dh$f$ist reellwertig (ich denke, in diesem Fall impliziert (3).$\Im(L)=0$)? Ich meine, um den Unterschied zwischen zu fragen

Wenn es so einen Unterschied gibt, dann denke ich, die 2$\lim$'s sind tatsächlich anders, als wir nach der "komplexen Grenze" und der "echten Grenze" fragen. Ich denke, sowohl die komplexen als auch die realen Grenzen sind gleich, wenn sie beide existieren, aber anscheinend hat die komplexe Grenze strengere Anforderungen oder so etwas. Der einzige Unterschied in der Ausgabe besteht also darin, ob sie vorhanden sind oder nicht.

Hinweis : Dies ist die korrekte Version der falschen Frage, die ich zuvor gestellt habe .