Beweise, dass f:R2→Rf:R2→Rf:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R} nicht injektiv ist mit dem Umkehrsatz

Ich beweise, dass a$C^r$Funktion$f:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R}$ist nicht injektiv. Ich habe verschiedene Lösungen gesehen, aber ich möchte es mit Techniken beweisen, die sich auf den Umkehrfunktionssatz beziehen. weil es ein Problem aus Spivaks "Callculus on Manifolds"-Text im Kapitel über den Umkehrfunktionssatz ist.

Ich habe eine Funktion gefunden$g:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R^2}$definiert als$g(x,y)=\bigg(f(x,y),y\bigg)$, und bewiesen, dass es ist$C^r$. Um mein Hauptproblem zu beweisen, gehe ich davon aus$f$ist injektiv, und das erlaubt mir, den Umkehrfunktionssatz darauf anzuwenden$g$, so dass ich eine offene Karte aus einer offenen Menge im Bereich von erhalte$g$zum offenen Bild von$g$, so dass$g$hat eine differenzierbare Inverse$g^{-1}:g(A)\rightarrow A$.

Nun will ich einen Widerspruch in der Injektivität von beweisen$f$, indem man das zeigt$g^{-1}$an bestimmten Punkten, nämlich einer Linie, nicht definiert ist, was der Differenzierbarkeit von widerspricht$g^{-1}$. In Betracht ziehen$f(x,y)=b$Dann$g(x,y)=(b,y)$, Jetzt sollte ich in der Lage sein, dass die Zeile das zu finden$g^{-1}$ist nicht definiert auf$\forall (b,z)$,$z\neq y$, denn das würde das bedeuten$f(x,z)=b$.

Meine Frage Ich verstehe nicht ganz wie$g^{-1}$definiert werden$(b,z)$impliziert, dass$f(x,z)=b$? $\phantom{}$

Hier ist das ursprüngliche Problem. Ich habe andere Lösungsvorschläge gesehen$g$erfüllen die Bedingungen von$f$aus$2$-$36$, deswegen habe ich es drin gelassen.

Danke!