Der Beweis einer Funktion ist nicht injektiv, indem man die Inverse betrachtet

Question

Der Beweis einer Funktion ist nicht injektiv, indem man die Inverse betrachtet

Analyse
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Multivariable Infinitesimalrechnung

John Geflügel

Ich beweise, dass a $C^r$ Funktion $f:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R}$ ist nicht injektiv. Ich habe eine Funktion gefunden $g:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R^2}$ definiert als $g(x,y)=\bigg(f(x,y),y\bigg)$ , und bewiesen, dass es ist $C^r$ . Um mein Hauptproblem zu beweisen, gehe ich davon aus $f$ ist injektiv, und das erlaubt mir, den Umkehrfunktionssatz darauf anzuwenden $g$ , so dass ich eine offene Karte aus einer offenen Menge im Bereich von erhalte $g$ zum offenen Bild von $g$ , so dass $g$ hat eine differenzierbare Inverse $g^{-1}:g(A)\rightarrow A$ .

Nun will ich einen Widerspruch in der Injektivität von beweisen $f$ , indem man das zeigt $g^{-1}$ an bestimmten Punkten, insbesondere einer Linie, nicht definiert ist. In Betracht ziehen $f(x,y)=b$ Dann $g(x,y)=(b,y)$ , Jetzt sollte ich in der Lage sein, dass die Zeile das zu finden $g^{-1}$ ist nicht definiert auf $\forall (b,z)$ , $z\neq y$ , denn das würde das bedeuten $f(x,z)=b$ .

Ich verstehe nicht ganz, wie $g^{-1}$ definiert werden $(b,z)$ impliziert, dass $f(x,z)=b$ ?

Bearbeiten Hier ist das ursprüngliche Problem. Es ist ein Problem $2$ - $37$ . Ich habe andere Lösungsvorschläge gesehen $g$ erfüllen die Bedingungen von $f$ aus $2$ - $36$ , deswegen habe ich es drin gelassen.

Danke!

mechanodroid

Ich glaube, dieser Ansatz funktioniert nicht. In Betracht ziehen

f (x, y) = x

$f(x,y) = x$ . Dann

f

$f$ ist nicht injektiv, sondern

g (x, y) = (x, y)

$g(x,y) = (x,y)$ ist invertierbar.

ManchmalBlind

Es gibt einen anderen Ansatz, der aus der Topologie stammt, aber ich übersetze ihn einfach in die Welt der Analysis:

John Geflügel

Ich habe meine Frage bearbeitet, um zu zeigen, woher ich das Problem habe. Es fordert uns auf, diesen Ansatz zu verwenden. Es ist von Spivaks "Caclulus on Manifolds", im Abschnitt des "Inverse Function Theorem".

Michael L.

@mechanodroid Alles, was zeigt, ist diese Nicht-Injektivität von

f

$f$ reicht nicht aus, um die Nichtinvertierbarkeit von zu garantieren

g

$g$ . Allerdings Nicht-Invertierbarkeit von

g

$g$ kann das noch andeuten

f

$f$ ist nicht injektiv.

mechanodroid

@MichaelLee Ich meinte nur die Nicht-Injektivität einer Funktion

f : R^{2} \to R

$f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ kann im Allgemeinen nicht durch Betrachten der Invertierbarkeit von bestimmt werden

g

$g$ . Natürlich ist die von Ihnen erwähnte Implikation wahr, weil es keine injektive kontinuierliche Funktion gibt

R^{2} \to R

$\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ an erster Stelle.

John Geflügel

@MichaelLee Kannst du mir sagen warum

g^{- 1}

$g^{-1}$ definiert werden

(b, z)

$(b,z)$ impliziert

f (x, z) = b

$f(x,z)=b$ ?

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Der Beweis einer Funktion ist nicht injektiv, indem man die Inverse betrachtet

Ich glaube, dieser Ansatz funktioniert nicht. In Betracht ziehen $f(x,y) = x$ . Dann $f$ ist nicht injektiv, sondern $g(x,y) = (x,y)$ ist invertierbar.
Es gibt einen anderen Ansatz, der aus der Topologie stammt, aber ich übersetze ihn einfach in die Welt der Analysis:
Ich habe meine Frage bearbeitet, um zu zeigen, woher ich das Problem habe. Es fordert uns auf, diesen Ansatz zu verwenden. Es ist von Spivaks "Caclulus on Manifolds", im Abschnitt des "Inverse Function Theorem".
@mechanodroid Alles, was zeigt, ist diese Nicht-Injektivität von $f$ reicht nicht aus, um die Nichtinvertierbarkeit von zu garantieren $g$ . Allerdings Nicht-Invertierbarkeit von $g$ kann das noch andeuten $f$ ist nicht injektiv.
@MichaelLee Ich meinte nur die Nicht-Injektivität einer Funktion $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ kann im Allgemeinen nicht durch Betrachten der Invertierbarkeit von bestimmt werden $g$ . Natürlich ist die von Ihnen erwähnte Implikation wahr, weil es keine injektive kontinuierliche Funktion gibt $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ an erster Stelle.
@MichaelLee Kannst du mir sagen warum $g^{-1}$ definiert werden $(b,z)$ impliziert $f(x,z)=b$ ?

ManchmalBlind · Answer 1

Wie Mechanodroid sagte, ich denke, dieser Ansatz funktioniert nicht ganz gut. Es gibt einen anderen Ansatz, der aus der Topologie stammt, aber ich übersetze ihn einfach in die Welt der Analysis:

Wenn keine durchgehende Karte $f: \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ injektiv ist, dann kannst du auch drei Punkte nehmen $a,b,c\in \mathbb{R}^2$ in einer geraden Linie so dass $f(a)<f(b)<f(c)$ und so dass das offene Intervall $(f(a),f(c))$ liegt im Bild von $f$ . Nehmen Sie dazu zwei verschiedene Punkte $a,c$ und wenden den Zwischenwertsatz auf die Funktion an $g:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ das wird induziert durch $f$ mit der Linie dazwischen $a$ Und $c$ als seine Domäne, jeder Punkt $y$ zwischen $f(a)$ Und $f(c)$ muss von einigen getroffen werden $b$ . Betrachten Sie dann eine Funktion $h$ das wird induziert durch $f$ auf einem Halbkreis aus $a$ Zu $c$ , dies ist eine fortlaufende Karte $[0,\pi]\rightarrow\mathbb{R}$ das befriedigt $h(0) = f(a), h(\pi) = f(c)$ aber es kann nicht treffen $f(b)$ Weil $f$ ist injektiv ( $b$ liegt nicht auf dem Halbkreis ab $a$ Zu $c$ Und $h$ es zu treffen würde der Injektivität von widersprechen $f$ ). Dies wiederum widerspricht dem Zwischenwertsatz.

Die ursprüngliche Topologieversion ist, dass kontinuierliche Bilder von verbundenen Mengen verbunden werden müssen und dass ein Punkt abgezogen wird $\mathbb{R}^2$ zerstört die Verbundenheit nicht, während ein Punkt entfernt wird $\mathbb{R}$ lässt Sie mit zwei verbundenen Komponenten.

zw. · Answer 2

Hier ist ein anderer Beweis: Angenommen $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$ ist injektiv und stetig auf jeder vertikalen Linie. Lassen $V$ sei die Ansammlung vertikaler Linien. Dann die Sammlung $\{f(L):L\in V\}$ ist überabzählbar und paarweise disjunkt. Aber durch die Kontinuitätsannahme, jede $f(L)$ ist eine zusammenhängende Teilmenge von $\mathbb R$ mit mehr als einem Punkt. Daher jeweils $f(L)$ ist ein Intervall positiver Länge. Wir haben also eine unzählbare paarweise disjunkte Sammlung von Intervallen positiver Länge gefunden, Widerspruch (jedes dieser Intervalle enthält eine rationale Zahl, und es gibt nur abzählbar viele rationale Zahlen).

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John Geflügel

mechanodroid

ManchmalBlind

John Geflügel

Michael L.

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ManchmalBlind

zw.

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