Zwischenwertsatz-Beweis & zeichenerhaltendes Lemma

Ich studiere derzeit Calculus in meinem Analysis I-Kurs und hänge an diesem von meinem Professor gegebenen Lemma und damit am allgemeinen Beweis. Hier sind meine Fragen:

1. Ist meine Interpretation des unten aufgeführten Lemmas richtig? Wenn nicht, wo mache ich einen Fehler?
2. Im Lemma, warum wählen wir$\epsilon = f(a)$?
3. Gibt es eine einfachere Version des Beweises des Zwischenwertsatzes, die ein prägnanterer Beweis sein könnte?

Das Lemma ist eine Behauptung, dass:

Vermuten$f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ist stetig bei$a \in X$mit$f(a) > 0$. Dann gibt es eine$\delta > 0$so dass für alle$x \in X$mit |xa| <$\delta$, das hat man$f(x) > 0$. Ebenso, wenn$f(a) < 0$.

Nachweisen. Lassen$\epsilon = f(a)$. Per Definition von Kontinuität existiert$\delta > 0$so dass für alle$x \in X$, |f(x) - f(a)| <$\epsilon$. Insbesondere,$f(x) > f(a) - \epsilon = 0$. Der Beweis für$f(a) < 0$ist ähnlich.

Hier ist meine Interpretation dieser Behauptung, und lassen Sie mich wissen, wo ich mit meinem Denken falsch liege. Es gibt eine stetige Funktion mit der$lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$. Wenn f(a) positiv ist, ist f(x) positiv. Interpretiere ich das richtig? Ähnlich ist f(x) negativ, wenn f(a) negativ ist. Ich habe gehört, dass dies die Vorzeichenerhaltungsfunktion genannt wird.

Dann verwenden wir dieses Lemma in unserem Beweis des Zwischenwertsatzes, und hier liegt meine Verwirrung. Der Beweis des Zwischenwertsatzes, wie er von unserem Prof gegeben wurde, lautet wie folgt:

Ersetzen$f$mit$-f$bei Bedarf können wir davon ausgehen$f(a) < f(b)$. Ersetzen$f$mit$f-y_0$, dürfen wir annehmen$y_0 = 0$. Wir werden also zeigen, dass wenn$f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$stetig ist, mit f(a) < 0, f(b) > 0, dann existiert$x_0 \in (a,b)$mit$f(x_0) = 0$.

Dies ist der erste Teil des Beweises. Der zweite Teil stellt die Struktur für einen Widerspruch durch eine bewiesene Behauptung P13 auf, dass, wenn eine Obergrenze existiert, dann eine kleinste Obergrenze existiert, die als Supremum bezeichnet wird .

Sei A = {$x \in [a,b] : f_{|[a,x]} < 0$}. Da ist die Menge A nicht leer$a$ist in A. Die Menge ist nach oben beschränkt, da b eine obere Schranke ist. Nach P13 existiert eine kleinste obere Schranke ,$x_0$= sup(A).

Wir haben$x_0 \in [a,b]$, da Elemente kleiner als a keine Obergrenzen von A sein können, während Elemente größer als b keine kleinsten Obergrenzen sein können. Wir werden zeigen, dass f($x_0$) = 0. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch.

Angenommen f($x_0$) ist ungleich 0. Nach dem Lemma können wir a auswählen$\delta > 0$so dass$f$ändert nicht das Vorzeichen auf der Menge aller$x \ in [a,b]$mit$|x-x_0| < \delta$, und so ist es entweder überall auf dieser Menge positiv oder überall auf dieser Menge negativ. Tatsächlich muss es überall negativ sein, da die Menge einen nicht leeren Schnittpunkt mit A hat: Seit$x_0$= sup(A), existiert$x_1 \in A$mit$x_1 \leq x_0$Und$|x_0 - x_1| < \delta$. Wir schließen daraus$f < 0$auf einen,$x_1$] und auch auf [$x_1, x_0$], also auf allen [a,$x_0$]. Das ist,$x_0 \in A$; insbesondere,$x_0 < b$. Wählen$x_2$mit$x_0 < x_2 < b$Und$|x_2 - x_0| < \delta$. Seit$f$ist negativ auf [a,$x_0$] und auch weiter$[x_0, x_2]$, es ist auf allen negativ$[a, x_2$]. Daher,$x_2 \in A$, was seitdem unmöglich ist$x_0$eine obere Schranke für A ist, und$x_0 < x_2$. Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme falsch ist und$f(x_0) = 0$.