Eine doppelte Integration über den Satz von Fubini

Question

Eine doppelte Integration über den Satz von Fubini

Mondschein

\int_{0}^{1} \int_{0}^{\infty} j e^{- X j} Sünde X D X D j

$\int_0^1\int_0^\infty ye^{-xy}\sin x\,dx\,dy$

Wie kann ich den Wert dieses Integrals berechnen?

PS Eine einfache Möglichkeit besteht darin, dieses Integral zu berechnen $dy$ zuerst, um eine integrale Form zu erhalten $\frac{1-e^{-x}(x+1)}{x^2}\sin x$ , wenn ich richtig berechnet habe, aber ich kenne keine andere Möglichkeit, diesen Wert zu berechnen, als eine harte Arbeit mit Konturintegral. - also frage ich mich, ob es einen anderen Weg gibt (=integrieren über $dy$ und mache Konturintegral)

(Ich habe versucht, einige Teile und Substitutionen zu integrieren, aber es scheint, dass es nicht gut funktioniert, wahrscheinlich die $\infty$ beim zweiten Integral ist entscheidend. Ich denke, dies erfordert, einen Term im Integranden zu erfassen und in ein weiteres Integral umzuwandeln und die Reihenfolge des Integrals nach Fubinis Theorem umzukehren. Aber ich bin mir nicht sicher.)

Sean Robertson

Hinweis: Das innere Integral ist die Laplace-Transformation von

\sin x .

$\sin x.$

John Hughes

Ist Ihnen aufgefallen, dass Ihr Titel nach dem Satz von Fubini fragt? Haben Sie versucht, es anzuwenden?

Kraut Steinberg

Führe zuerst das y-Integral aus.

Mathe-Liebhaber

und gegebenen Grenzen von

x

$x$ Und

y

$y$ unabhängig sind, können Sie einfach die Reihenfolge ändern.

Mondschein

Für den Kommentar von Sean Roberson - Das ist nicht genau die Laplace-Transformation, aber ich verstehe, was Sie meinen. Anscheinend kann ich mit bekannten Laplace-Formeln einen geeigneten Begriff finden.

Mondschein

Für die letzten drei Kommentare ist die Integration eigentlich vorbei

y

$y$ Zuerst können wir offensichtlich eine analytische Funktion von erhalten

x

$x$ , was ein bisschen schmutzig ist, wir können es immer noch über das Konturintegral berechnen, aber ich frage mich, ob es einen einfacheren Weg geben kann

Antworten (2)

Eine doppelte Integration über den Satz von Fubini

Hinweis: Das innere Integral ist die Laplace-Transformation von $\sin x.$
Ist Ihnen aufgefallen, dass Ihr Titel nach dem Satz von Fubini fragt? Haben Sie versucht, es anzuwenden?
und gegebenen Grenzen von $x$ Und $y$ unabhängig sind, können Sie einfach die Reihenfolge ändern.
Für den Kommentar von Sean Roberson - Das ist nicht genau die Laplace-Transformation, aber ich verstehe, was Sie meinen. Anscheinend kann ich mit bekannten Laplace-Formeln einen geeigneten Begriff finden.
Für die letzten drei Kommentare ist die Integration eigentlich vorbei $y$ Zuerst können wir offensichtlich eine analytische Funktion von erhalten $x$ , was ein bisschen schmutzig ist, wir können es immer noch über das Konturintegral berechnen, aber ich frage mich, ob es einen einfacheren Weg geben kann

Benutzer0102 · Answer 1

HINWEIS

Nach der Methode der Integration nach Teilen erhalten wir das

\begin{aligned} \int e^{- X j} Sünde (X) D X = - e^{- X j} \cos (X) - \int j e^{- X j} \cos (X) D X \end{aligned}

$\begin{align*} \int e^{-xy}\sin(x)\mathrm{d}x = -e^{-xy}\cos(x) - \int ye^{-xy}\cos(x)\mathrm{d}x \end{align*}$

Wenn wir die gleiche Methode noch einmal anwenden, erhalten wir das

\begin{aligned} \int j e^{- X j} \cos (X) D X = j e^{- X j} Sünde (X) + \int j^{2} e^{- X j} Sünde (X) D X \end{aligned}

$\begin{align*} \int ye^{-xy}\cos(x)\mathrm{d}x = ye^{-xy}\sin(x) + \int y^{2}e^{-xy}\sin(x)\mathrm{d}x \end{align*}$

Ersetzt man den zweiten Ausdruck durch den ersten, ergibt sich das

\begin{aligned} \int e^{- X j} Sünde (X) D X = - e^{- X j} \cos (X) - j e^{- X j} Sünde (X) - j^{2} \int e^{- X j} Sünde (X) D X \end{aligned}

$\begin{align*} \int e^{-xy}\sin(x)\mathrm{d}x = -e^{-xy}\cos(x) - ye^{-xy}\sin(x) - y^{2}\int e^{-xy}\sin(x)\mathrm{d}x \end{align*}$

was das schließlich ergibt

\begin{aligned} \int j e^{- X j} Sünde (X) D X = - e^{- X j} (\cos (X) + j Sünde (X)) \times (\frac{j}{1 + j^{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} \int ye^{-xy}\sin(x)\mathrm{d}x = -e^{-xy}(\cos(x) + y\sin(x))\times\left(\frac{y}{1 + y^{2}}\right) \end{align*}$

Dann können Sie die Integrationsgrenzen anwenden.

Kannst du es von hier nehmen?

Engel · Answer 2

Sie müssen den Satz von Fubini tatsächlich nicht anwenden

$\begin{align}\int_0^1\!\!\!\int_0^\infty&\!\!ye^{-xy}\sin x\,dxdy=\!\int_0^1\!\left[-\dfrac{ye^{-xy}(\cos x+y\sin x)}{y^2+1}\right]_0^\infty\!\!dy=\\ &=\int_0^1\dfrac y{y^2+1}dy=\left[\dfrac12\ln\left(y^2+1\right)\right]_0^1=\dfrac12\ln2\;. \end{align}$

\ das war also lösbar durch elementaren Kalkül.. dumm von mir lol. Außerdem haben Sie beide gleichzeitig die gleichen Antworten gegeben; obwohl ich nicht beide auswählen konnte, gab ich +1. Danke schön.

Eine doppelte Integration über den Satz von Fubini

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Mondschein

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Benutzer0102

Engel

Mondschein

Beweisen, dass eine Ableitung existiert, wenn die Grenze von f' gegeben ist

fff ist integrierbar, hat aber kein unbestimmtes Integral

Grenzwert der Folge, Squeeze-Theorem?

Für differenzierbare Funktionen mit f′(0)=af′(0)=af'(0)=a und f′(1)=bf′(1)=bf'(1)=b haben wir das für alle c∈ (a,b)c∈(a,b)c\in(a,b) gibt es ein yyy mit f′(y)=cf′(y)=cf'(y)=c.

Zwischenwertsatz-Beweis & zeichenerhaltendes Lemma

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inf(A+B)=infA+infBinf(A+B)=infA+infB\inf{(A+B)}=\inf{A}+\inf{B}: Ein ϵϵ\epsilon Beweis

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Gibt es eine Formel für die n-te Ableitung von 1f(x)+a1f(x)+a\frac{1}{f(x) +a}?

Der Beweis einer Funktion ist nicht injektiv, indem man die Inverse betrachtet