Summe zweier Funktionen mit IVP

Ah! Jemand, der sich für Funktionen mit der Eigenschaft Zwischenwert interessiert.

Diese Tiere haben einen eigenen Namen, der die Suche erleichtert. Sie mögen das Akronym „IVP“ nicht. Wir nennen sie Darboux-Funktionen , benannt nach dem französischen Mathematiker Jean-Gaston Darboux (1842-1917). Er bewies, dass alle Derivate die IVP-Eigenschaft hatten, und er zeigte, dass es Derivate gab, die ziemlich diskontinuierlich waren, wodurch jeder Vorschlag zunichte gemacht wurde, dass die IVP-Eigenschaft der Kontinuität entspricht.

Hier sind einige Theoreme, die Sie bei Ihrer Suche nach weiteren dieser merkwürdigen Kreaturen sicherlich unterhaltsam finden werden. Der erste Satz zeigt etwas überraschender als erwartet, dass die Summe zweier Darboux-Funktionen nicht Darboux sein muss.

Satz 1. Let$f:\mathbb R\to \mathbb R$eine völlig willkürliche Funktion sein. Dann gibt es zwei Darboux-Funktionen$g$Und$h$so dass$f=g+h$.

Satz 2. Let$f:\mathbb R \to \mathbb R$eine völlig willkürliche Funktion sein. Dann gibt es eine Sequenz$\{g_n\}$von Darboux-Funktionen, die punktweise gegen konvergieren$f$.

Satz 3. Let$f:\mathbb R \to \mathbb R$eine völlig willkürliche Funktion sein. Dann existiert eine Darboux-Funktion$g$so dass die Menge der Punkte

$$\{x\in \mathbb R: f(x)\not = g(x) \}$$ ist sowohl Maß null als auch erste Kategorie.

Diese drei Theoreme werden in Kapitel 1 der unten zitierten Monographie von Andy Bruckner [1] bewiesen. Er fügt diesen Kommentar hinzu:

Über Darboux-Funktionen lässt sich noch viel mehr sagen. Aber wir werden uns mit Ableitungen und verwandten Klassen von Funktionen befassen, und da diese Klassen von Funktionen im Allgemeinen in Baire-Klasse 1 enthalten sind, würden weitere Diskussionen über Darboux-Funktionen für unsere Bedürfnisse wirklich am Rande liegen. Der Hauptzweck des vorliegenden Kapitels war es, einen kleinen Einblick in die Darboux-Funktionen zu geben. Wir verweisen alle, die daran interessiert sind, das Thema weiter zu verfolgen, auf [diesen] erläuternden Artikel

A. Bruckner und J. Ceder, Darboux Continuity, Jber. Deutsch Math. Ver. 67, (1965), 93-117.

Jack Ceder ist vor einiger Zeit verstorben, aber Andy ist immer noch bei uns und weiß immer noch mehr über Darboux-Funktionen, als Sie vielleicht lernen möchten.

REFERENZ:

[1] https://www.amazon.com/Differentiation-Real-Functions-Crm-Monograph/dp/0821869906