Diese Funktionskomposition verstößt gegen die Definition, warum?

Question

Diese Funktionskomposition verstößt gegen die Definition, warum?

Infinitesimalrechnung
Notation
Funktionen
Mathematik
Realanalyse
Multivariable Infinitesimalrechnung

JDoeDoe

Mir wird folgendes gegeben:

Wir haben die Funktionen
$\begin{aligned} (1) & A & : R^{2} \to R \\ (2) & B & : R^{3} \to R \end{aligned}$ $\begin{align} a&: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \tag 1\\ b&: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R \tag 2 \end{align}$ und die Funktionszusammensetzung ist $\begin{matrix} (3) & C = A \circ B : R^{4} \to R \end{matrix}$ $c = a \circ b: \mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R \tag 3$

Aber diese Zusammensetzung stimmt nicht mit der Definition aus Wikipedia überein :

Die Funktionen $f:X \rightarrow Y$ Und $g:Y\rightarrow Z$ werden zusammengesetzt, um eine Funktion zu ergeben ... Die resultierende zusammengesetzte Funktion wird bezeichnet $g\circ f : X \rightarrow Z$ , definiert von $(g\circ f)(x) = g(f(x))$ .

Aus der Definition der Reichweite von $f$ ist dasselbe wie die Domäne von $g$ . Aber das gilt nicht für $(1)$ Und $(2)$ . Kann jemand etwas Licht ins Dunkel bringen, was da vor sich geht $(1)-(3)$ ?

Danke!

Aktualisieren:

Ich habe dieses Beispiel in einem Physikbuch gesehen.

Wir haben die Differentialgleichung $\frac{d r(t)}{dt}= u(r(t))$ Wo
$\begin{aligned} (4) & u & : R^{3} \to R^{3} \\ (5) & R & : R \to R^{3} \\ (6) & \frac{D R (T)}{D T} & : R \to R^{3} \end{aligned}$ $\begin{align} u&: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3 \tag 4\\ r&: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^3 \tag 5 \\ \frac{d r(t)}{dt}&:\mathbb R \rightarrow \mathbb R^3 \tag 6 \end{align}$

Ich schätze $\frac{d r(t)}{dt}$ ist die Zusammensetzung, aber es ist nicht korrekt nach der Definition.

MPW

Wie dargelegt,

c

$c$ macht keinen Sinn. "Zusammensetzung" bedeutet, dass die Ausgabe einer Funktion die Eingabe einer anderen Funktion speist. Also wenn es Sinn machen würde, die Funktion

a \circ b

$a\circ b$ würde ein Element nehmen

x

$x$ des Definitionsbereichs der Funktion

b

$b$ , und füttern Sie die Ausgabe

b (x)

$b(x)$ in die Funktion

a

$a$ (So

b (x)

$b(x)$ muss implizit im Bereich von liegen

a

$a$ wenn es als Input dienen soll

a

$a$ ), die die Ausgabe erzeugt

a (b (x))

$a(b(x))$ . Deshalb sagt man das

(a \circ b) (x) = a (b (x))

$(a\circ b)(x) = a(b(x))$ . In Ihrem Fall,

b (x)

$b(x)$ ist eine reelle Zahl, kein Punkt im Bereich von

R^{2}

$\mathbb R^2$ von

a

$a$ .

Antworten (3)

Diese Funktionskomposition verstößt gegen die Definition, warum?

Wie dargelegt, $c$ macht keinen Sinn. "Zusammensetzung" bedeutet, dass die Ausgabe einer Funktion die Eingabe einer anderen Funktion speist. Also wenn es Sinn machen würde, die Funktion $a\circ b$ würde ein Element nehmen $x$ des Definitionsbereichs der Funktion $b$ , und füttern Sie die Ausgabe $b(x)$ in die Funktion $a$ (So $b(x)$ muss implizit im Bereich von liegen $a$ wenn es als Input dienen soll $a$ ), die die Ausgabe erzeugt $a(b(x))$ . Deshalb sagt man das $(a\circ b)(x) = a(b(x))$ . In Ihrem Fall, $b(x)$ ist eine reelle Zahl, kein Punkt im Bereich von $\mathbb R^2$ von $a$ .

Robert Israel · Answer 1

$a \circ b$ ist nicht vorhanden. $a \circ b$ bedeutet die Funktion definiert durch $(a \circ b)(x) = a(b(x))$ . Aber dein $a$ muss auf ein Mitglied von handeln $\mathbb R^2$ , während $b(x)$ ist nur drin $\mathbb R$ .

EDIT: Für Ihr Physikbeispiel ist die einzige Komposition, die ich sehe $u(r(t))$ , was geschrieben werden könnte als $(u \circ r)(t)$ . Das ist in Ordnung, weil $r: \mathbb R \to \mathbb R^3$ Und $u: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ .

Danke für die Antwort. Ich habe meine Frage mit einem zweiten Beispiel aktualisiert. Macht es irgendeinen Sinn?

Noah Schweber · Answer 2

Dein zweites Beispiel sieht für mich richtig aus:

$r$ Nimmt eine Realzahl und gibt ein Tripel von Realzahlen aus.
$u$ nimmt ein reelles Tripel und gibt ein reelles Tripel aus.
So " $u\circ r$ “ ist wohldefiniert: es ist „tun $r$ zuerst und dann $u$ ," und nimmt eine Realzahl auf und gibt ein Tripel von Realzahlen aus.

Beachten Sie, dass $r$ Und $u(r)$ denselben "Typ:" haben, von dem beide Funktionen stammen $\mathbb{R}$ Zu $\mathbb{R}^3$ . Im Allgemeinen ist der Typ einer Funktion derselbe wie der Typ der Ableitung dieser Funktion (vorausgesetzt, letzteres macht tatsächlich Sinn!).

md2perpe · Answer 3

In Ihrem ersten Beispiel (mit $a$ Und $b$ ) die Zusammensetzung $a \circ b$ ist nicht klar definiert, obwohl es das sein könnte $b$ Karten auf die $x$ -Achse, so dass die Komposition sein soll $(a \circ b)(x) := a(b(x), 0)$ was eine Zuordnung ist $\mathbb R^3 \to \mathbb R$ Wenn $b : \mathbb R^3 \to \mathbb R$ Und $a : \mathbb R^2 \to \mathbb R.$ Von wo du gekommen bist $\mathbb R^4$ Ich kann es nicht verstehen.

Das Beispiel unter "Update" ist aber richtig: $r : \mathbb R \to \mathbb R^3$ beschreibt den Weg eines Teilchens, dh $r(t)$ sagt aus, wo sich das Teilchen zu einer bestimmten Zeit befindet $t$ , $u : \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ ist ein Vektorfeld, und $u \circ r : \mathbb R \to \mathbb R^3$ drückt aus, wie das vom Teilchen erfahrene Vektorfeld von der Zeit abhängt. Die gleichung $\frac{dr(t)}{dt} = (u \circ r)(t) = u(r(t))$ ist eine Differentialgleichung, die ein Teilchen beschreibt, das sich in jedem Moment in Richtung des Vektorfelds bewegt, in dem sich das Teilchen befindet, und zwar mit einer Geschwindigkeit, die durch die Größe des Vektorfelds gegeben ist. Die Lösung ist die Bahnlinie des Teilchens.

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JDoeDoe

MPW

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Robert Israel

JDoeDoe

Noah Schweber

md2perpe

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