Ist ein echtes abgeschlossenes, beschränktes Intervall ein lokal kompakter Hausdorff-Raum?

Hält das? Ich war verwirrt durch die Aussage des Riesz-Markov-Kakutani-Darstellungssatzes; das heißt, die Formulierung lautet wie folgt:

Lassen X ein lokal kompakter Hausdorff-Raum sein. Für jede positive lineare Funktion ψ An C C ( X ) , gibt es ein einzigartiges regelmäßiges Borel-Maß μ An X so dass

ψ ( F ) = ∫ X F ( X ) D μ ( X )
für alle F In C C ( X ) .

während Riesz das einfach bewies

Jedes stetige lineare Funktional A [ F ] über den Raum C ( [ 0 , 1 ] ) stetiger Funktionen im Intervall [ 0 , 1 ] können im Formular dargestellt werden

A [ F ] = ∫ 0 1 F ( X ) D a ( X ) ,
Wo a ( X ) ist eine Funktion der beschränkten Variation auf dem Intervall [0, 1], und das Integral ist ein Riemann-Stieltjes-Integral.

Als ich dies las, glaubte ich, dass die frühere, allgemeinere Formulierung für jedes geschlossene begrenzte Intervall gelten würde R .

Jede Hilfe wäre willkommen.

Jede ordnungskonvexe Teilmenge von R , geschlossen oder nicht, begrenzt oder nicht, ist lokal kompakt und Hausdorff in der Topologie, von der es erbt R . Das bedeutet alle Intervalle, offen, geschlossen oder halboffen, und alle Strahlen, offen oder geschlossen.
Also geschlossene Intervalle sind also kompakt und Hausdorff? @BrianM.Scott
Ja, das ist richtig.

Antworten (1)

Ja.

Deutlich, R ist Hausdorff, wenn er mit der euklidischen Topologie ausgestattet ist (es ist immerhin ein metrischer Raum), und jeder topologische Unterraum eines Hausdorff-Raums ist Hausdorff in Bezug auf die relative Topologie. Um dies zu sehen, lassen Sie ( X , τ ) sei ein topologischer Hausdorff-Raum und Y ⊆ X  eine nicht leere Teilmenge (Hinweis: Y  muss nicht offen sein). Schenken Y mit der relativen Topologie:

τ Y ≡ { U ∩ Y | U ∈ τ } .
Wählen Sie nun ein beliebiges Paar aus u ∈ Y Und v ∈ Y . Seit X Hausdorff ist, gibt es disjunkte offene Teilmengen U  Und v von X so dass u ∈ U Und v ∈ v . Auch, u ∈ U ∩ Y  Und v ∈ v ∩ Y , Und U ∩ Y Und v ∩ Y sind disjunkt. Sie sind per Definition auch offen gegenüber der relativen Topologie. Es folgt dem ( Y , τ Y ) ist Hausdorff.

Deshalb, [ A , B ] ist immer ein Hausdorff-Raum A ∈ R , B ∈ R , Und A < B (wenn sie mit der relativen Topologie ausgestattet sind).

Darüber hinaus, [ A , B ] kompakt ist (es ist abgeschlossen und beschränkt – vgl . Satz von Heine-Borel). Nun ist jeder kompakte Raum lokal kompakt. Warum? Lassen ( X , τ ) sei ein kompakter topologischer Raum und nehme beliebig X ∈ X . Tut X Haben Sie eine kompakte Nachbarschaft? Nimm einfach das ganze Set X !

Ist ein echtes abgeschlossenes, beschränktes Intervall ein lokal kompakter Hausdorff-Raum?
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