Schwache* Kompaktheit der Einheitskugel

Question

Schwache* Kompaktheit der Einheitskugel

O Empalador de Cabras

Dinge, die wir wissen:

In jedem topologischen Raum impliziert Kompaktheit sequentielle Kompaktheit
Wenn E irgendein topologischer Raum ist, dann die geschlossene Einheitskugel $B_{E} = {F \in E^{*}; “ F “ \leq 1}$ $B_E=\{f\in E^*; \|f\|\leq 1\}$ ist kompakt in der schwachen* Topologie.

Nun ein Beispiel von Brezis Book : Let $E=l^{\infty}$ und sein Dual $E^*\supset l^1$ . Betrachten Sie nun die Reihenfolge $(f_n)\subset l^1\subset E^*$ Wo

F_{N} = (0, \dots, 0, 1, 0 \dots)

$f_n=(0, \ldots,0,1,0\ldots)$

Beanspruchen.: $(f_n)$ hat keine konvergente Teilfolge in der schwachen* Topologie

Angenommen, es gibt eine konvergente Teilfolge, um durch Widerspruch zu argumentieren $f_{n_k}$ konvergiert zu $f$ . Also müssen wir für jeden haben $x\in l^{\infty}$ Das

⟨ F_{N_{k}}, X ⟩ \to ⟨ F, X ⟩

$\left<f_{n_k},x\right>\to \left<f,x\right>$

Andererseits wählen $x_0$ auf die folgende Weise

X = (0, 0, \dots, \underset{N_{1}}{\underset{⏟}{1}}, 0, 0 \dots, 0, \underset{N_{2}}{\underset{⏟}{- 1}}, 0, 0, \dots, \underset{N_{3}}{\underset{⏟}{1}}, 0, \dots, 0, \underset{N_{4}}{\underset{⏟}{- 1}}, \dots)

$x=(0,0,\ldots,\underbrace{1}_{n_1}, 0,0\ldots,0,\underbrace{-1}_{n_2},0,0,\ldots,\underbrace{1}_{n_3},0,\ldots,0,\underbrace{-1}_{n_4}, \ldots)$ Dann

⟨ F_{N_{k}}, X ⟩ = (- 1)^{k}

$\left<f_{n_k},x\right>=(-1)^k$ was nicht konvergiert, Widerspruch! So

(f_{n})

$(f_n)$ hat keine konvergente Teilfolge in der schwachen* Topologie

MEINE FRAGE : Wie dieses Beispiel den Ergebnissen nicht widerspricht $1$ Und $2$ , Ich meine, $\|f_n\|=1$ für alle $n$ , Und $(f_n)$ hat keine konvergente Teilfolge in der schwachen* Topologie. Andererseits $B_E=\{f\in E^*; \|f\|\leq 1\}$ ist kompakt in der schwachen* Topologie, also insbesondere sequentiell kompakt.

NACHTRAG: Kompaktheit impliziert sequentielle Kompaktheit

Sei X eine kompakte Menge und $(x_n)$ eine unendliche Folge (unendliche verschiedene Terme), nehmen Sie das Gegenteil an, dh das $(x_n)$ hat keinen Häufungspunkt. Dann für jeden $x\in X$ es gibt ein Wiehern. $U_x$ von $x$ aber enthält nur eine endliche Anzahl von Elementen von $\{x_n\}$ . Die Familie $\{U_x\}$ Abdeckung $X$ , indem es zu einer endlichen Unterabdeckung übergeht $\{U_1,\ldots,U_n\}$ wir schließen daraus, dass die Menge der Bedingungen von $(x_n)$ muss endlich sein. Widerspruch!

David Mitra

Kompaktheit impliziert im Allgemeinen nicht sequentielle Kompaktheit.

O Empalador de Cabras

Es gibt einen Beweis im Buch von Lang, Real and Functional Analysis, books.google.com.br/books/about/… auf Seite 33, der das Gegenteil sagt

David Mitra

Kompaktheit impliziert sequentielle Kompaktheit in metrisierbaren Räumen. Aber die schwache* Topologie an

X^{*}

$X^*$ ist im Allgemeinen nicht metrisierbar (insbesondere wenn

X

$X$ ist Banach und unendlich dimensional).

David Mitra

Bitte ignorieren Sie meinen inzwischen gelöschten vorherigen Kommentar.

O Empalador de Cabras

Sei X eine kompakte Menge und

(x_{n})

$(x_n)$ eine unendliche Folge, nehmen Sie das Gegenteil an, dh das

(x_{n})

$(x_n)$ hat keinen Häufungspunkt. Dann für jeden

x \in X

$x\in X$ es gibt ein Wiehern.

U_{x}

$U_x$ von

x

$x$ aber enthält nur eine endliche Anzahl von Elementen von

{x_{n}}

$\{x_n\}$ . Die Familie

{U_{x}}

$\{U_x\}$ Abdeckung

X

$X$ , indem es zu einer endlichen Unterabdeckung übergeht

{U_{1}, \dots, U_{n}}

$\{U_1,\ldots,U_n\}$ wir schließen daraus, dass die Menge der Bedingungen von

(x_{n})

$(x_n)$ muss endlich sein. Widerspruch!

Daniel Fischer

Dass eine Folge einen Häufungspunkt hat, ist streng genommen schwächer als das, dass sie eine konvergente Teilfolge hat (im Allgemeinen; für metrische Räume, allgemeiner zuerst zählbare Räume, sind die beiden äquivalent).

O Empalador de Cabras

Jetzt sehe ich, dass dies die große Frage unserer Meinungsverschiedenheit ist, was die Definition von Konvergenz ist, die Sie in Betracht ziehen.

Daniel Fischer

NEIN.

x_{n} \to x

$x_n \to x$ wenn jede Nachbarschaft von

x

$x$ enthält alles bis auf endlich viele

x_{n}

$x_n$ . Sonst hättest du

(- 1)^{n} \to 1

$(-1)^n \to 1$ .

O Empalador de Cabras

Ich entschuldige mich für meine Unwissenheit, verstehe aber Ihren Punkt nicht, ich meine, warum die "Metrizierbarkeit" so wichtig ist

Daniel Fischer

Metrisierbarkeit – oder erste Zählbarkeit – ist wichtig, weil dies impliziert, dass Sie eine Teilfolge extrahieren können, die zu einem Häufungspunkt der gesamten Folge konvergiert. Generell ist das nicht möglich. Und das passiert hier. Der Ablauf

(f_{n})

$(f_n)$ hat Häufungspunkte, aber keine konvergente Teilfolge.

O Empalador de Cabras

@DanielFischer Kannst du mir ein Beispiel geben, wo das passiert, aber es ist einfacher als das obige Beispiel? Oder nur eine Referenz. Danke für die Erläuterungen.

Antworten (1)

Schwache* Kompaktheit der Einheitskugel

Kompaktheit impliziert im Allgemeinen nicht sequentielle Kompaktheit.
Es gibt einen Beweis im Buch von Lang, Real and Functional Analysis, books.google.com.br/books/about/… auf Seite 33, der das Gegenteil sagt
Kompaktheit impliziert sequentielle Kompaktheit in metrisierbaren Räumen. Aber die schwache* Topologie an $X^*$ ist im Allgemeinen nicht metrisierbar (insbesondere wenn $X$ ist Banach und unendlich dimensional).
Bitte ignorieren Sie meinen inzwischen gelöschten vorherigen Kommentar.
Sei X eine kompakte Menge und $(x_n)$ eine unendliche Folge, nehmen Sie das Gegenteil an, dh das $(x_n)$ hat keinen Häufungspunkt. Dann für jeden $x\in X$ es gibt ein Wiehern. $U_x$ von $x$ aber enthält nur eine endliche Anzahl von Elementen von $\{x_n\}$ . Die Familie $\{U_x\}$ Abdeckung $X$ , indem es zu einer endlichen Unterabdeckung übergeht $\{U_1,\ldots,U_n\}$ wir schließen daraus, dass die Menge der Bedingungen von $(x_n)$ muss endlich sein. Widerspruch!
Dass eine Folge einen Häufungspunkt hat, ist streng genommen schwächer als das, dass sie eine konvergente Teilfolge hat (im Allgemeinen; für metrische Räume, allgemeiner zuerst zählbare Räume, sind die beiden äquivalent).
Jetzt sehe ich, dass dies die große Frage unserer Meinungsverschiedenheit ist, was die Definition von Konvergenz ist, die Sie in Betracht ziehen.
NEIN. $x_n \to x$ wenn jede Nachbarschaft von $x$ enthält alles bis auf endlich viele $x_n$ . Sonst hättest du $(-1)^n \to 1$ .
Ich entschuldige mich für meine Unwissenheit, verstehe aber Ihren Punkt nicht, ich meine, warum die "Metrizierbarkeit" so wichtig ist
Metrisierbarkeit – oder erste Zählbarkeit – ist wichtig, weil dies impliziert, dass Sie eine Teilfolge extrahieren können, die zu einem Häufungspunkt der gesamten Folge konvergiert. Generell ist das nicht möglich. Und das passiert hier. Der Ablauf $(f_n)$ hat Häufungspunkte, aber keine konvergente Teilfolge.
@DanielFischer Kannst du mir ein Beispiel geben, wo das passiert, aber es ist einfacher als das obige Beispiel? Oder nur eine Referenz. Danke für die Erläuterungen.

Daniel Fischer · Answer 1

Kompaktheit impliziert nicht sequentielle Kompaktheit.

Kompaktheit impliziert, dass jede Folge einen Häufungspunkt hat, was äquivalent zu abzählbarer Kompaktheit ist [jede abzählbare offene Überdeckung hat eine endliche Unterüberdeckung]. Aber im Allgemeinen impliziert eine Folge mit Häufungspunkten nicht, dass die Folge eine konvergente Teilfolge hat. Man braucht zusätzliche Hypothesen, zB erste Zählbarkeit des Raums, um diese Implikation zu haben.

Ein Beispiel für einen kompakten, aber nicht folgenkompakten Raum ist, wie das Beispiel zeigt, die geschlossene Einheitskugel von $(\ell^\infty)^\ast$ im Schwachen $^\ast$ Topologie.

Ein vielleicht einfacher zu visualisierendes Beispiel ist ein Produkt aus ausreichend vielen Kopien $\{0,1\}$ . (Jedes Beispiel muss etwas schwierig zu visualisieren sein, da die einfach zu visualisierenden Räume eine starke Tendenz haben, zuerst zählbar zu sein.)

Lassen $\mathscr{P}(\mathbb{N})$ bezeichnen die Potenzmenge von $\mathbb{N}$ , Und $X = \{0,1\}^{\mathscr{P}(\mathbb{N})}$ (das liegt an der Benennung der Indizes $\{0,1\}^{\mathbb{R}}$ , aber nehmen $\mathscr{P}(\mathbb{N})$ erleichtert die Definition einer Folge ohne konvergente Teilfolgen). Definieren Sie die Reihenfolge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ In $X$ von

P_{M} (X_{N}) = {\begin{cases} 0 & , N \notin M \\ 0 & , N \in M Und Karte {M \in M : M < N} selbst \\ 1 & , N \in M Und Karte {M \in M : M < N} seltsam, \end{cases}

$p_M(x_n) = \begin{cases} 0 &, n \notin M\\ 0 &, n\in M \text{ and } \operatorname{card} \{m\in M : m < n\} \text{ even}\\ 1 &, n\in M \text{ and } \operatorname{card} \{ m\in M : m < n\} \text{ odd},\end{cases}$

Wo $p_M \colon X \to \{0,1\}$ ist die Koordinatenprojektion. Dann $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ hat keine konvergenten Teilfolgen. Für wenn $(x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}$ eine Teilfolge ist, betrachte die Menge $M = \{ n_k : k\in\mathbb{N}\}$ . Dann $p_M(x_{n_k})$ Ist $0$ für sogar $k$ Und $1$ für ungerade $k$ (Wenn Sie sich an die Konvention halten $0\notin \mathbb{N}$ , vertausche gerade und ungerade), also $(x_{n_k})$ ist nicht konvergent.

Wenn $E$ ein normierter Raum ist, dann ist die geschlossene Einheit Kugel $E^\ast$ ist kompakt in den Schwachen $^\ast$ Topologie nach dem Satz von Banach-Alaoglu und unter bestimmten Bedingungen weiter $E$ es ist auch folgenkompakt.

Wenn $E$ trennbar ist, dann wird die Unterraumtopologie auf der geschlossenen Einheitskugel induziert $E^\ast$ von den Schwachen $^\ast$ Topologie ist metrisierbar (Anmerkung: Die schwache $^\ast$ Topologie an $E^\ast$ ist dann im Allgemeinen selbst nicht metrisierbar), daher die geschlossene Einheit ball of $E^\ast$ ist dann schwach $^\ast$ -sequenziell kompakt.
Wenn $E$ ist reflexartig, die geschlossene Einheit Kugel aus $E^\ast$ ist schwach $^\ast$ -sequenziell kompakt.

$\ell^\infty$ ist weder trennbar noch reflexiv.

Eine andere vielleicht erwähnenswerte Bedingung ist, dass die Einheit kugelförmig ist $X^*$ ist schwach* folgenkompakt wenn $X^*$ enthält keine isomorphe Kopie von $\ell_1$ . Dies folgt aus Rosenthals $\ell_1$ -Theorem (Ein Banachraum $X$ enthält keine isomorphe Kopie von $\ell_1$ genau dann, wenn jede beschränkte Folge in $X$ hat eine schwach Cauchy-Subsequenz).

Schwache* Kompaktheit der Einheitskugel

O Empalador de Cabras

David Mitra

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Daniel Fischer

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Daniel Fischer

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Daniel Fischer

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Antworten (1)

Daniel Fischer

David Mitra

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