Kontinuierliches f:R→Rnf:R→Rnf:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^n mit dichtem Bild ist surjektiv?

NEIN,$f$muss nicht surjektiv sein. Es ist nicht allzu schwer, sich eine raumfüllende Kurve vorzustellen, die einzelne Punkte verfehlt.

Nehmen Sie in der Tat eine beliebige ebenefüllende Kurve und ordnen Sie sie einer neuen Kurve in der Ebene mithilfe der komplexen Exponentialkarte zu$z\mapsto e^z$. Dies ist raumfüllend, außer dass es niemals den Ursprung trifft.

Noch mehr, wenn man eine raumfüllende Kurve nimmt und diese abbildet$y$-Komponente durch die$\arctan$Funktion erhalten Sie eine Kurve, die den Streifen ausfüllt$\Bbb R\times(-\pi/2,\pi/2)$. Wenn du das dann durch mappst$z\mapsto e^{2z}$, erhalten Sie eine kontinuierliche Karte mit dichtem Bild, die den gesamten negativen reellen Zahlenstrahl verfehlt.

Nein, eine stetige Funktion mit dichtem Bild ist nicht unbedingt surjektiv. Betrachten wir eine Folge von Punkten$(x_n)_{n\in {\bf N}}$das ist dicht drin${\bf R}^n$. Betrachten Sie die Funktion, die das Intervall sendet$[n,n+1]$zum Segment$[x_n, x_{n+1}]$. Dies ergibt eine Funktion aus$[0, \infty)$Zu${\bf R}^n$dessen Bild die dichte Punktmenge enthält${x_n}$und ist in einer abzählbaren Vereinigung von Geraden enthalten.

Eine abzählbare Vereinigung von Geraden hat eine dichte Ergänzung nach dem Baire-Kategoriensatz . Beachten Sie auch, dass eine zählbare Vereinigung von geraden Linien ein zweidimensionales Lebesgue-Maß von null hat. Es hat eine Nullfläche.