Wenn jede Metrik auf einer Menge X der diskreten Metrik entspricht, können wir dann sagen, dass X eine endliche Menge ist?

Unter der Annahme (einer schwachen Form) des Axioms der Wahl , ja, das ist wahr.

Genauer gesagt folgt aus dem Auswahlaxiom, dass wenn$X$unendlich ist, dann gibt es eine Injektion$f:\mathbb{Q}\rightarrow X$(Natürlich das$f$ist in keiner Weise einzigartig). Unter der Annahme, dass wir die Wahl haben, kann folglich jede unendliche Menge mit einer Metrik ausgestattet werden, sodass sie einen zu isometrischen Unterraum hat$\mathbb{Q}$.

Etwas detaillierter, angesichts einer solchen$f$, können wir eine nicht-diskrete Metrik definieren$d$An$X$folgendermaßen:

• Wenn$a\not\in ran(f)$dann für jeden$b\in X$außer$a$selbst, setzen wir$d(a,b)=d(b,a)=2$.

• Inzwischen z$m,n\in\mathbb{Q}$legen wir fest$d(f(m),f(n))=\min\{\vert m-n\vert, 1\}$.

Grundsätzlich,$(X,d)$sieht aus wie eine "abgeschnittene" Kopie von$\mathbb{Q}$mit einer Reihe diskreter Punkte, die darum herum verstreut sind, und ist sicherlich nicht diskret!

(Beachten Sie, dass dies keine Metrik enthält$X$mit einem Unterraum isometrisch zu$\mathbb{Q}$; Das zu bekommen ist eine gute Übung.)

Wenn wir jedoch nicht das Axiom der Wahl annehmen, können die Dinge seltsamer sein: Es ist konsistent mit$\mathsf{ZF}$(= Mengenlehre ohne Wahl), dass es unendliche Mengen gibt, die sich nicht in zwei unendliche Teilmengen aufteilen lassen. Solche Mengen, die als amorphe Mengen bezeichnet werden, können keine nicht-diskrete Metrik unterstützen; das ist eine gute übung.