Offene Satz- und Randpunkte

Einige Hinweise:

1. Es ist einfacher, das zu zeigen$A$ist das Urbild einer offenen Menge in$\mathbb{R}$.
2. Als$A$ist offen,$a \in \partial A$ist kein Element in$A$, daher$f(a) \leq 0$. Durch Kontinuität wissen wir das für jeden$\epsilon > 0$da ist ein$\delta > 0$, so dass für jeden$x \in B(a, \delta)$, wir haben$|f(x)| < \epsilon$. Aber wir wissen auch, dass es welche gibt$x \in B(a,\delta) \cap A$, also bekommen wir$0 < f(x) < \epsilon$. Dadurch können wir eine Sequenz erhalten$(x_n) \subset A$, konvergiert zu$a$, so dass$f(x_n) = \frac1n$. Durch Kontinuität sehen wir das wieder$f(a) = f(\lim x_n) = \lim f(x_n) = \lim \frac1n = 0$.
3. Versuchen Sie, ein Beispiel dafür zu finden$a$liegt an der Grenze der Menge$B := \left\{ x \in M \mid f(x) < 0 \right\}$, aber nicht drin$\partial A$. Dann durch ähnliche Argumente wie für 1. und 2.,$B$geöffnet ist und$f(a) = 0$, Aber$a \notin A$.

1. Das kann man einfach sagen$A=f^{-1}\bigl((0,+\infty)\bigr)$. Seit$f$ist stetig und$(0,+\infty)$ist offen$A$ist offen.
2. Wenn$a\in\partial A$, dann können wir nicht haben$f(a)>0$, weil dann$a\in A=\mathring A$, seit$A$ist offen. Und wir können nicht haben$f(a)<0$weil wenn$B=\{x\in M\,|\,f(x)<0\}$Dann$B$ist offen (ebenso wie$A$) Und$a\in B$. Es gibt also eine$r>0$so dass$B_r(a)\subset B\subset A^\complement$und deshalb$a\notin\partial A$.
3. Nehmen$M=\mathbb R$und lass$d$der übliche Abstand sein. Definieren$f(x)=x^3-3x-2$. Dann$f(-1)=0$, Aber$A=(2,+\infty)$. Deshalb,$-1\notin\partial A$.

Verwenden Sie für 1 die Tatsache, dass$A$ist das Urbild einer offenen Menge unter einer stetigen Abbildung.

Finden Sie für 2 eine Sequenz in$A$die zusammenlaufen$a$(warum können Sie das tun?) und verwenden Sie die Kontinuität von$f$. Sie müssen wissen, was mit Grenzwerten unter stetigen Funktionen passiert.

Mit dem Kehrwert in 3 meinst du das$f(a)=0$bedeutet nicht$a\in \partial A$oder was meinst du?

1. Als$f$ist stetig und die Menge$(0, \infty)$Geöffnet ist dann das Set$f^{-1}(0, \infty)$sollte offen sein. Aber$f^{-1}(0, \infty)=A$
2. Auf die gleiche Weise können wir zeigen, dass die Menge$B = \{x\in M \mid f(x) < 0\}$ist offen. Nun was wäre wenn$f(a)\neq0$?
3. Du darfst nehmen$g=0$