int(A)int⁡(A)\operatorname{int}(A) ist offen für jede Menge AAA von Punkten in einem metrischen Raum

Question

int(A)int⁡(A)\operatorname{int}(A) ist offen für jede Menge AAA von Punkten in einem metrischen Raum

Amit Mittal

Satz. Die Menge der inneren Punkte einer beliebigen Menge $A$ , geschrieben $\operatorname{int}(A)$ , ist eine offene Menge.

Ich weiß also, dass wir, um zu beweisen, dass eine Menge offen ist, ein beliebiges Element in dieser Menge nehmen und einen Radius wählen möchten, bei dem eine offene Sphäre dieses Radius vollständig in dieser Menge liegt.

Lassen $p\in \operatorname{int}(A)$ , dann per Definition von int( $A$ ), gibt es eine offene Sphäre von $p$ mit Radius $r$ , $S_{r}(p)\subset A$ .

Aber wir wollen einen Radius $r_1$ um $p$ , so dass $S_{r_{1}}(p)\subset \operatorname{int}(A)$ . Jetzt beginnen meine Zweifel .

Okay, das wissen wir $\operatorname{int}(A)$ ist immer eine Teilmenge von $A$ , also wollen wir den Radius verkleinern $r$ Zu $r_1$ , aber für dieses Verfahren entzieht sich das gewählte Buch meinem Verständnis, selbst wenn wir versuchen, es uns vorzustellen, indem wir Diagramme erstellen.

Bitte überprüfen Sie das beigefügte Bild und wenn mir jemand hilft, dies zu verstehen, bin ich ihm/ihr sehr dankbar.

Gribouillis

Es sieht aus wie ein sehr schlechtes Buch. Der Beweis ist sinnlos. Warum das nicht einfach beweisen

S_{r / 2} (y) \subset int (A)

$S_{r/2}(y)\subset \text{int}(A)$ ? Wenn

x \in S_{r / 2} (y)

$x\in S_{r/2}(y)$ , Dann

S_{r / 2} (x) \subset S_{r} (y) \subset A

$S_{r/2}(x)\subset S_r(y)\subset A$ , somit

x \in int (A)

$x\in \text{int}(A)$ .

Chris Christopherson

Stellen Sie es sich vielleicht zuerst in einer Dimension vor. Wenn die Zahl Null in einer eindimensionalen Kugel mit Radius 3 enthalten wäre ( dem Intervall

(- 3, 3)

$(-3,3)$ ) und wir sollten ein Element in diesem Ball betrachten, sagen wir die Zahl 2. Aber der größte Radius, den ich dem Ball geben kann, der 2 enthält, damit er darin enthalten ist

(- 3, 3)

$(-3,3)$ ist der Radius

1 = 3 - 2 = 3 - d (0, 2)

$1=3-2=3-d(0,2)$ . Versuchen Sie, das Bild für das zu zeichnen, was ich gerade illustriert habe.

Clemens Yung

Ich bin sehr fasziniert, welches Buch ist das?

Gribouillis

Auch das Wort „Sphäre“ ist umstritten. Der relevante Begriff ist „Ball“.

Amit Mittal

Vielen Dank für die Antwort. Bei den Büchern handelt es sich um „Topology And Modern Analysis“ von George F. Simmons.

Antworten (2)

int(A)int⁡(A)\operatorname{int}(A) ist offen für jede Menge AAA von Punkten in einem metrischen Raum

Es sieht aus wie ein sehr schlechtes Buch. Der Beweis ist sinnlos. Warum das nicht einfach beweisen $S_{r/2}(y)\subset \text{int}(A)$ ? Wenn $x\in S_{r/2}(y)$ , Dann $S_{r/2}(x)\subset S_r(y)\subset A$ , somit $x\in \text{int}(A)$ .
Stellen Sie es sich vielleicht zuerst in einer Dimension vor. Wenn die Zahl Null in einer eindimensionalen Kugel mit Radius 3 enthalten wäre ( dem Intervall $(-3,3)$ ) und wir sollten ein Element in diesem Ball betrachten, sagen wir die Zahl 2. Aber der größte Radius, den ich dem Ball geben kann, der 2 enthält, damit er darin enthalten ist $(-3,3)$ ist der Radius $1=3-2=3-d(0,2)$ . Versuchen Sie, das Bild für das zu zeichnen, was ich gerade illustriert habe.
Auch das Wort „Sphäre“ ist umstritten. Der relevante Begriff ist „Ball“.
Vielen Dank für die Antwort. Bei den Büchern handelt es sich um „Topology And Modern Analysis“ von George F. Simmons.

Adayah · Answer 1

Der Beweis aus dem Bild ist falsch, weil $z \in S_r(x)$ bedeutet das nicht $z \in \operatorname{Int} A$ . Es ist auch unnötig kompliziert. Ein korrekter Beweis lautet wie folgt:

Lassen $x \in \operatorname{Int} A$ also gibt es welche $r > 0$ befriedigend $S_r(x) \subseteq A$ . Es genügt, das zu zeigen $S_r(x) \subseteq \operatorname{Int} A$ . Also nimm welche $y \in S_r(x)$ und legen $r_1 = r - d(x, y)$ . Dann $S_{r_1}(y) \subseteq S_r(x)$ seit für $z \in S_{r_1}(y)$ wir haben das

D (z, X) ⩽ D (z, j) + D (j, X) < R_{1} + D (j, X) = R .

$d(z, x) \leqslant d(z, y) + d(y, x) < r_1 + d(y, x) = r.$

Es folgt dem $S_{r_1}(y) \subseteq S_r(x) \subseteq A$ , So $y \in \operatorname{Int} A$ wie gewünscht. $\square$

Randnotiz: Bezeichnung der Sets $S_r(x)$ und es ist umständlich, sie Kugeln zu nennen , da die Standarddefinition offene Kugeln beinhaltet , die normalerweise als bezeichnet werden $B_r(x)$ .

Ich denke, es ist immer noch unnötig kompliziert. Sie beweisen mehr als die Aussage des Theorems.
Könntest du ersetzen $S_r(x)$ mit $S_{r/2}(x)$ , dann setzen $r_1 = r/2$ unabhängig davon $y$ und argumentieren, dass es einfacher ist (dem ich nicht zustimmen würde), aber ich glaube nicht, dass es möglich ist, noch mehr zu vereinfachen.
+1 ..... Ich bevorzuge die Notation $B(x,r)$ ...... $B_r(x)$ kann peinlich sein, wenn " $r$ " ist eigentlich ein komplizierter Ausdruck. Auch, wenn es um zwei Metriken geht $d,e$ Auf demselben Satz benötigen Sie ein tiefgestelltes oder hochgestelltes Zeichen $d$ oder $e$ anhängend an " $B$ ".

Henno Brandsma · Answer 2

Ein sauberer Ansatz ist zu zeigen $S_r(x)$ ist eine offene Menge für alle $x \in X$ Und $r>0$ , als eine Art Lemma.

Das tun sie eigentlich ab Zeile 5 sowieso.

Um das Lemma zu beweisen, folge dem Beweis des Buches. (Also haben wir festgelegt, aber willkürlich $x \in X$ Und $r>0$ von jetzt an).

Das zu sehen $S_r(x)$ offen ist, müssen wir zeigen, dass jeder beliebige Punkt $y \in S_r(x)$ ist ein innerer Punkt von $S_r(x)$ : so mit einer solchen willkürlich $y$ Wir stellen fest, dass per Definition von $S_r(x)$ wir haben $d(x,y) < r$ . Definieren Sie dann den „Spielraum“ $r' = r-d(x,y) >0$ . Der Anspruch ist dann, dass dies $r'$ „Zeugnis“ dafür $y$ ist ein innerer Punkt von $S_r(x)$ was bedeutet

\begin{matrix} (1) & S_{R^{'}} (j) \subseteq S_{R} (X) \end{matrix}

$S_{r'}(y) \subseteq S_r(x)\tag{1}$

Beweisen $(1)$ wir zeigen die Inklusion, indem wir any auswählen $z \in S_{r'}(y)$ . Wieder wissen wir es $d(z,y) < r'$ . Das brauchen wir $z \in S_r(x)$ so wollen wir zeigen $d(x,z) < r$ per Definition.

Jetzt verwenden wir die Dreiecksungleichung (über den einzigen anderen Punkt, über den wir etwas wissen, unseren alten Freund $y$ ):

D (X, z) \leq D (X, j) + D (j, z) < D (X, j) + R^{'} = R

$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z) < d(x,y) + r' = r$

als $r'$ wurde definiert als $r-d(x,y)$ von Anfang an. Wir haben also, was wir wollten: $d(x,z) < r$ Und $z \in S_r(x)$ Und $(1)$ hält.

Da alle Punkte willkürlich waren, $S_r(x)$ ist offen.

Nun der Beweis über $\operatorname{int}(A)$ offen sein: Es ist das gleiche Verfahren: Um zu zeigen, dass eine Menge offen ist, wählen wir eine beliebige aus $x \in \operatorname{int}(A)$ und zeigen, dass es ein innerer Punkt von ist $\operatorname{int}(A)$ . Wissen $x \in \operatorname{int}(A)$ sagt uns, dass es welche gibt $r>0$ so dass $S_r(x) \subseteq A$ . Die Behauptung ist tatsächlich so

\begin{matrix} (2) & S_{R} (X) \subseteq int (A) \end{matrix}

$S_r(x) \subseteq \operatorname{int}(A)\tag{2}$ und wir sind fertig: das gleiche

r

$r$ bezeugt das

x

$x$ ist ein innerer Punkt von

int (A)

$\operatorname{int}(A)$ sowie. Um zu sehen

(2)

$(2)$ (eine Einbeziehung) wir auswählen

y \in S_{r} (x)

$y \in S_r(x)$ und zeigen

y \in int (A)

$y \in \operatorname{int}(A)$ . Wir verwenden das Lemma darüber

S_{r} (x)

$S_r(x)$ ist offen also

y

$y$ ist ein innerer Punkt davon und so

r^{'} > 0

$r'>0$ besteht damit

S_{r^{'}} (y) \subseteq S_{r} (x)

$S_{r'}(y) \subseteq S_r(x)$ . So

j \in S_{R^{'}} (j) \subseteq S_{R} (X) \subseteq A

$y \in S_{r'}(y) \subseteq S_r(x) \subseteq A$ und so

y \in int (A)

$y \in \operatorname{int}(A)$ Und

(2)

$(2)$ wurde gezeigt. QED.

Vielen Dank an Henno Brandsma, dass Sie mir das so einfach gemacht haben
$S_{r'}(y) \subseteq S_r(x)$ . So $j \in S_{R^{'}} (j) \subseteq S_{R} (X) \subseteq A$ $y \in S_{r'}(y) \subseteq S_r(x) \subseteq A$ und so $y \in \operatorname{int}(A)$ ' Das ist richtig, weil wir erfolgreich eine offene Kugel um einen beliebigen Punkt finden $y$ von $S_r($ X $)$ die enthält in $A$ also alle Punkte von $S_r($ X $)$ hat offene Sphäre enthält in $A$ , So $x$ ist auch einer von ihnen deshalb $x$ ist int( $A$ ). Denke ich richtig na??
@ user926846 Haben wir $y$ In $\text{int}(A)$ weil wir einen Ball haben $S_{r'}(y)$ darum herum, das ist eine Teilmenge von $A$ . Dies macht es per Definition zu einem inneren Punkt von $A$ . Denn das gilt für alle $y$ Wir haben die Inklusion gezeigt $S_r(x) \subseteq \text{int}(A)$ und das zeigt schließlich das $x$ (der willkürliche Punkt von $\text{int}(A)$ ) ist ein innerer Punkt von $\text{int}(A)$ mit dem Ball $S_r(x)$ .

int(A)int⁡(A)\operatorname{int}(A) ist offen für jede Menge AAA von Punkten in einem metrischen Raum

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