Welche Beziehung besteht zwischen lokal kompakten Hausdorff-Räumen und vollständig trennbaren metrischen Räumen?

In dem Buch „Real and Complex Analysis“ von Rudin verwendet er häufig die Bedingung, dass ein Raum lokal kompakter Hausdorff ist, um Ergebnisse allgemein darzustellen. Die Sache ist die, dass ich solche Bedingungen nicht sehr gewöhnt bin. Die meisten Bücher über Analyse / Maßtheorie, die ich gelesen habe, präsentieren Ergebnisse in Bezug auf metrische Räume / trennbar / vollständig.

Daher habe ich mich gefragt, ob es eine genaue Beziehung zwischen diesen Begriffen gibt. Impliziert beispielsweise lokal kompaktes Hausdorff Vollständigkeit oder Trennbarkeit? Ist die gegenteilige Implikation wahr?

Nehmen wir zum Beispiel den folgenden Satz von Rudin:

Wenn X ist lokal kompakt Hausdorff, und μ eine Maßnahme auf den Borelianern von X . Dann für 1 ≤ P < ∞ , C C ( X ) ist dicht drin L P ( μ ) .

Nun, ich habe mich gefragt, ob dieser Satz irgendwie formuliert werden könnte, aber so etwas wie, wenn X polnisch ist, dann ist das wahr. Was mich also wirklich interessiert, ist zu wissen, ob es eine Möglichkeit gibt, diese Art von Räumen irgendwie in Beziehung zu setzen. Wenn die Implikationen nicht wahr sind, gibt es eine zusätzliche Bedingung, die sie miteinander verbindet?

Vielleicht suchen Sie nach Urysohns Metrisierungssatz
Danke! Ich werde einen Blick darauf werfen.
In deinem Beispiel denke ich C C ( X ) ist der Raum stetiger Funktionen mit kompaktem Träger. Das ist keine sehr interessante Sache, es sei denn X ist lokal kompakt.
Was @Bumblebee gepostet hat, ist genau das, wonach ich gesucht habe! Danke noch einmal! "Der Satz von Urysohn kann wie folgt umformuliert werden: Ein topologischer Raum ist genau dann trennbar und metrisierbar, wenn er regulär, Hausdorff und zweitzählbar ist. Der Metrisierungssatz von Nagata-Smirnov erweitert dies auf den nicht trennbaren Fall. Er besagt, dass ein topologischer Raum ist genau dann metrisierbar, wenn es regulär, Hausdorff ist und eine σ-lokal endliche Basis hat.
Entschuldigung, wenn die Frage nicht sehr präzise war. Ich schätze, es war eines von diesen "Du wirst es wissen, wenn du es siehst".

Antworten (2)

Beide Implikationen scheitern.

Produktraum [ 0 , 1 ] A mit A unabzählbar ist kompaktes Hausdorff, aber nicht trennbar und nicht metrisierbar.

Hilbert-Raum l 2 ist vollständig separierbare Metrik, aber nicht lokal kompakt.

Natürlich haben viele Gemeinschaftsräume beide Eigenschaften. In der Tat eine offene Teilmenge von R N ist vollständig metrisierbar trennbar lokal kompakt Hausdorff.

Danke für die Antwort. Aber gibt es eine Möglichkeit, beide Eigenschaften zu verbinden? Ich meine, gibt es eine andere Bedingung, die sie aneinander binden? Ursache Rudin beweist Sachen unter der Annahme von lokal kompaktem Hausdorff, und ich sehe, dass derselbe Satz an anderer Stelle bewiesen ist, aber ohne eine solche Annahme.
Warum nicht ein solches Beispiel in die Frage aufnehmen?
OK, fertig. Hoffentlich macht dies die Dinge klarer, was ich wissen möchte
Der Vollständigkeit halber (Teilmenge von R N ), müsste es geschlossen werden. :-)
@AndréCaldas ... guter Punkt. Oder sagen Sie "vollständig metrisierbar", dann sind offene Mengen in Ordnung. Fest

Lassen ICH = [ 0 , 1 ] mit der Standardtopologie. Lassen k ein unendlicher Kardinal sein. Nach dem Satz von Tychonoff (ein Produkt kompakter Räume ist kompakt) entsteht der Produktraum ICH k ist kompakt.

Es ist leicht zu zeigen, dass ein Produkt von T 2 Leerzeichen ist T 2 und es ist leicht zu zeigen, dass ein kompakter T 2 Platz ist T 4 . Also die "Tychonoff-Planke" ICH k ist ein kompakter Normalraum. Es ist auch leicht zu zeigen, dass jeder Unterraum eines Normalraums a ist T 3 1 2 Raum.

Satz: Wenn S ist ein T 3 1 2 Raum und wenn S hat eine Basis (Grundlage) B mit Kardinal | B | ≤ k Dann S ist homöomorph zu einem Unterraum von ICH k .

Die Klasse der kompakten Hausdorff-Räume und ihrer Unterräume ist also in diesem Sinne viel größer als die Klasse der metrisierbaren Räume.

Insbesondere hat ein separierbarer metrisierbarer Raum eine abzählbare Basis, so dass er homöomorph zu einem Unterraum von ist ICH ℵ 0 .

Es ist schwierig, ein nützliches abzählbar-additives Maß auf den Borel-Mengen eines Raums zu definieren, der nicht lokal kompakt ist. Zum Beispiel in einem unendlichdimensionalen normierten linearen Raum (z. B. Hilbertraum ℓ 2 ) gibt es R > 0 so dass eine offene Kugel mit Radius 1 enthält eine unendliche paarweise disjunkte Familie offener Kugeln mit jeweils einem Radius R .

Der Raum ICH ℵ 0 heißt Hilbert-Würfel. Es ist metrisierbar. Sein Unterraum { 0 , 1 } ℵ 0 ist homöomorph zur Cantor-Menge.
Welche Beziehung besteht zwischen lokal kompakten Hausdorff-Räumen und vollständig trennbaren metrischen Räumen?
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