Vergleichstest für Reihen komplexer Zahlen

Question

Vergleichstest für Reihen komplexer Zahlen

Analyse
Mathematik
komplexe Analyse
Folgen-und-Serien
Konvergenz-Divergenz

Babai

Für Reihen reeller Zahlen haben wir den folgenden Satz. Wenn $\{a_n\}$ Und $\{b**_n**\}$ zwei Folgen positiver reeller Zahlen sein, so dass $0\geq a_n \geq k\cdot b_n$ , für eine reelle Zahl $k$ Dann

$\{b_n\}$ konvergiert $\implies$ $\{a_n\}$ konvergiert.
$\{a_n\}$ weicht ab $\implies$ $\{b_n\}$ weicht ab.

Für Reihen komplexer Zahlen haben wir keine Reihenfolge, daher müssen wir unsere Aussage entsprechend ändern. Lassen $\{z_n\}$ Und $\{w_n\}$ zwei Folgen komplexer Zahlen sein.

Lassen, $|z_n|\leq k |w_n|$ Dann

$\sum |w_n|$ ist konvergent impliziert $\sum z_n$ ist absolut konvergent.
*Meine Frage ist: "Können wir das sagen $\sum |z_n|$ ist divergent impliziert $\sum w_n$ ist divergent."? * (Was ich weiß ist $\sum |z_n|$ ist divergent impliziert $\sum |w_n|$ ist nicht absolut konvergent.)

Weitere Frage:

Ich habe eine weitere Frage: Wenn die obige Aussage nicht wahr ist, wie zeigen wir dann, dass „Wenn eine Potenzreihe $\sum a_nz^n$ ist nicht divergent bei $z=z_0$ , dann ist es für alle divergent $z$ befriedigend $|z|>|z_0|$ "

Konrad

Wie die folgende Antwort zeigt, erhalten Sie auch ein Gegenbeispiel mit echten Sequenzen. jedoch, wenn Sie den Argumenten von Bedingungen auferlegen

w_{n}

$w_n$ die das Analogon der Positivität für Reale sind (zum Beispiel, wenn sie zu denselben gehören

π - α

$\pi-\alpha$ Längenintervall, für alle großen n und einige kleine feste positive Werte

α

$\alpha$ ), können Sie Standardungleichungen verwenden, die die übliche Dreiecksungleichung umkehren, um ein ähnliches Ergebnis zu erhalten

Antworten (1)

Vergleichstest für Reihen komplexer Zahlen

Wie die folgende Antwort zeigt, erhalten Sie auch ein Gegenbeispiel mit echten Sequenzen. jedoch, wenn Sie den Argumenten von Bedingungen auferlegen $w_n$ die das Analogon der Positivität für Reale sind (zum Beispiel, wenn sie zu denselben gehören $\pi-\alpha$ Längenintervall, für alle großen n und einige kleine feste positive Werte $\alpha$ ), können Sie Standardungleichungen verwenden, die die übliche Dreiecksungleichung umkehren, um ein ähnliches Ergebnis zu erhalten

Jose Carlos Santos · Answer 1

Nein Wir können nicht. Nehmen $z_n=\dfrac1n$ , $w_n=\dfrac{(-1)^n}n$ , Und $k=1$ .

Ich habe eine weitere verwandte Frage. Helfen Sie mir bitte dabei.
Das ist eine andere Frage. Bitte so posten. Und wenn meine Antwort hilfreich war, könnten Sie die Möglichkeit in Betracht ziehen, sie zu akzeptieren.
Es ist irgendwie verwandt. Ich hoffe, die zweite Aussage zu beweisen, man muss die vorherige Art einer Aussage verwenden, ich werde sie sicherlich akzeptieren.

Vergleichstest für Reihen komplexer Zahlen

Babai

Konrad

Antworten (1)

Jose Carlos Santos

Babai

Jose Carlos Santos

Babai

Satz 3.55 in Baby Rudin: Wie macht man den Beweis sinnvoll?

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k konvergiert absolut und ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k konvergiert Tut dies implizieren, dass ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) konvergiert?

Wenn für holomorphe Funktionen {fn}→f{fn}→f\{f_n\}\to f gleichmäßig auf kompakten Mengen ist, dann gilt dasselbe für die Ableitungen.

Ist diese Reihe ∑n=0∞1+sinn10n∑n=0∞1+sin⁡n10n\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1+\sin n}{10^n} divergent oder konvergent? ?

Bestimmen Sie, ob diese Reihe absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent ist?

Habe ich die Konvergenz dieser Reihe richtig verifiziert?

Zeigen, dass diese Folge eine Cauchy-Folge ist

Absolut konvergente Reihe komplexer Funktionen.

Konvergenz der Reihe ∑∑\sumununu_n= ∑∑\sumn!xn(n+1)nn!xn(n+1)n\frac{n! x^n}{(n+1)^n}

Was genau ist die Beziehung und was sind die Unterschiede zwischen multivariablen Grenzwerten und komplexen Grenzwerten?