Zeigen, dass diese Folge eine Cauchy-Folge ist

Sei q ∈ [ 0 , 1 )Q∈ [ 0 , 1 ), und lassen Sie ein nANeine Folge sein, in der | ein n + 1 - ein n | ≤ q | ein n - ein n - 1 |

|An + 1−AN| ≤q|AN−An − 1|
für alle n ≥ 2n ≥ 2. Zeigen Sie, dass ein nANist eine Cauchy-Folge.

Ehrlich gesagt weiß ich nicht wirklich wo ich anfangen soll. Ich kenne das Cauchy-Kriterium, das besagt, dass ein nANist eine Cauchy-Folge, falls ein nANkonvergiert.

Tipps, wo man anfangen oder wie man diese Frage aufschlüsseln kann, wären sehr willkommen.

Sie können die Ungleichung intergrieren und $|a_{n+1}-a_n|\to 0$ sehen, da $|q|<1.$
Danke für dein Feedback @Autumn. Was genau meinst du mit iterieren der Ungleichung (Cauchy-Folgen sind brandneu für mich)?
Was ist Ihre Definition einer konvergenten Folge? eine Cauchy-Folge?
$|a_{n+1}-a_n|\le q^{n-1}|a_n-a_{n-1}|\le q^{n-1+n-2}|a_{n-1} -a_{n-2}|\cdots\le q^{(n-1)n/2}|a_2-a_1|$. In $\Bbb R^n$ und jedem vollständigen Raum für diese Angelegenheit ist Cauchy zu sein gleichbedeutend mit Konvergenz. Ich nehme an, Sie arbeiten in $\Bbb R$. Es gibt ein Theorem, das Ihnen helfen kann.
Tut mir leid, ich habe in meiner ersten Frage einen Fehler gemacht - $q$ statt $q^{n-1}$. Würde dies meine Herangehensweise an diese Frage ändern?
Es ist erwähnenswert, dass $\vert a_{n+1}-a_{n}\vert \to 0$ nicht ausreicht, damit $\{a_n\}$ Cauchy ist oder konvergiert
Was denken Sie? (:
Die übliche Definition der Cauchy-Folge ist eingerahmt von $\vert a_n-a_m \vert \lt \varepsilon$ für $n, m \gt N$, wobei $N$ von $\varepsilon$ abhängen kann.
@Herbst betrachte $a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$.

Antworten (3)

Durch die Dreiecksungleichung:

| ein n + k - ein n | ≤ | ein n + k - ein n + k - 1 | + | ein n + k − 1 − ein n + k − 2 | + ⋯ + | ein n + 1 - ein n |

Andererseits gilt per Induktion: | ein n + 1 - ein n | ≤ qn − 1 | _ ein 2 − ein 1 |

Kombiniere nun (1) und (2), um | zu erhalten ein n + k - ein n | ≤ ϵ

für große nund k.

Danke für deine Antwort @Louis Pan. Diese Lösung macht für mich Sinn. Meine einzige Frage ist, wie Sie auf Gleichung (2) gekommen sind, um sie durch Induktion zu zeigen?
@adr555: gerne geschehen. Wissen Sie, was „ mathematische Induktion “ ist? Komme später wieder, wenn Sie mehr Ausarbeitung benötigen.
Ja, ich kenne mich mit mathematischer Induktion aus, und ich habe es geschafft, durch Induktion zu beweisen, dass Gleichung (2) gültig ist. Ich verstehe nur nicht, woher du wusstest, dass du das überprüfen musst | ein n + 1 - ein n | ≤ qn − 1 | _ ein 2 − ein 1 | (Wie haben Sie also erkannt, dass dies die Gleichung ist, die wir in diesem Beweis benötigen würden)?
@adr555: Denken Sie rückwärts darüber nach. Denn man kann die Menge abschätzen | ein n + k - ein n | über (1) wenn man | abschätzen kann ein n + 1 - ein n | für jedes n ; aber die Annahme, die Sie haben, ergibt eine Kette von Ungleichungen: | ein n + 1 - ein n | ≤ q | ein n - ein n - 1 | ≤ q2 | _ ein n - 1 - ein n - 2 | ≤ q 3 | ein n - 2 - ein n - 3 | ≤ ⋯ ≤ q n - - 1 |ein 2 − ein 1 |
Diese Kette von Ungleichungen kann durch (2) unter Verwendung von Induktion zusammengefasst werden.

Als Hinweis: Sie müssen | anzeigen ein m − ein n | < ϵBeginnen Sie also mit | ein m − ein n | =| ein m - ein m - 1 + ein m - 1 - ein m - 2 + ein m - 2 - . . . . ein n | ≤ | ein m − ein m − 1 | + | ein m − 1 − ein m − 2 | + | ein m - 2 - einm − 3 | +. . .

Verwenden Sie dann | ein n + 1 - ein n | ≤ qn − 1 | _ ein n - ein n - 1 |

Woher es kam | ein n - ein n - 1 | ?

Beachten Sie, dass q n → 0falls n → ∞, also wenn N > n : | ein 3 − ein 2 |≤ q | ein 2 − ein 1 | | ein 4 - ein 3 |≤ q | ein 3 − ein 2 | ≤ q2 | _ ein 2 − ein 1 | ⋮ | ein n + 1 - ein n |≤ qn − 1 | _ ein 2 − ein 1 | < qN − 1 | _ ein 2 − ein 1 | = ε

Dann gilt für alle ε > 0, existieren N 0 ∈ Nso dass

| ein n - ein n ' | < ε ,  für alle  n , n ′ > N 0

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