Warum definieren wir die Vollständigkeit eines Raums eher durch die Konvergenz einer Cauchy-Folge als durch eine normale Folge?

Wenn ich das richtig verstehe, postulieren Sie einen vorhandenen "umgebenden vollständigen Raum".$Y$innerhalb dessen der Raum$X$du sorgst dich um Leben. Das heißt, Sie wollen sagen

$(*)\quad$ $X$vollständig ist, wenn alle$\color{red}{\mbox{convergent}}$Folge von Elementen von$X$konvergiert gegen ein Element von$X$

Dies hat jedoch ein ernstes Problem: Was bedeutet das rote „konvergent“? Wenn wir darunter konvergent im Sinne von verstehen$X$, dann ist jeder Raum in diesem Sinne vollständig.

Zu machen$(*)$Arbeit als ein Begriff der Vollständigkeit, wir brauchen einen umgebenden Raum$Y$die wir als Leitfaden dafür verwenden, welche Sequenzen "wirklich konvergieren". In vielen Fällen ist klar, was$Y$sollte - zB (mit der üblichen Metrik) für sein$X=\mathbb{Q}$wir wollen ganz klar$Y=\mathbb{R}$- aber im Allgemeinen bringt uns das auf einen gefährlichen Weg: für einen wirklich seltsamen metrischen Raum$X$, wie würden Sie vorgehen, um das Richtige zu finden$Y$?

Stattdessen wollen wir Vollständigkeit „in sich geschlossen“ definieren: die Aussage „$X$vollständig ist" sollte nur verweisen auf$X$selbst, nicht irgendein vorausgesetzter Umgebungsraum. Hier kommen Cauchy-Folgen ins Spiel: um festzustellen, ob eine Folge von Elementen von$X$ist Cauchy, wir brauchen keinen umgebenden Raum, um darin zu leben - Cauchyness wird vollständig von innen bestimmt$X$. Intuitiv ist eine Folge Cauchy, wenn sie konvergieren "sollte", und daraus erhalten wir die richtige Definition von Vollständigkeit:

$(**)\quad$ $X$ist vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ist$X$konvergiert ein$X$.

Übrigens können wir mit dieser Definition in der Hand treffend treffen$(*)$ein Satz , wie folgt:

• Zuerst zeigen wir, dass jeder metrische Raum$X$hat einen Abschluss $\hat{X}$. Grob gesagt, weist darauf hin$\hat{X}$werden von Cauchy-Folgen aus "benannt".$X$, und für jeden Punkt$x$In$X$die konstante Folge$(x,x,x,x,...)$"Namen"$x$In$\hat{X}$damit wir denken können$X$als buchstäblich eine Teilmenge von$\hat{X}$. Die Details sind komplizierter - zum einen könnten mehrere Cauchy-Folgen denselben Punkt benennen! - aber das ist die Grundidee.

• Das ist der Umgebungsraum, den wir haben wollten$(*)$! Das können wir jetzt beweisen$X$ist vollständig genau dann, wenn jede Folge von Elementen von$X$was konvergent im Sinne von ist$\hat{X}$, konvergiert zu etwas in$X$ (im Sinne von entweder$X$oder$\hat{X}$; sie werden sich darauf einigen) .

Anmerkung : Dies ist ein Beispiel für ein allgemeineres Phänomen: dass wir in der Mathematik häufig Objekte „für sich allein“ betrachten wollen, anstatt sie in ein größeres „Hintergrundobjekt“ einzubetten. Dies macht es oft schwieriger, sich die Dinge vorzustellen, aber die Auszahlung ist enorm. Zum einen erweitert es die Bandbreite der Objekte, über die wir sprechen können (z. B. in diesem Fall$(**)$lassen Sie uns über die (Un-)Vollständigkeit metrischer Räume ohne offensichtlichen "Hintergrund" sprechen. Zum anderen kann es uns von letztlich irreführenden Intuitionen befreien. Ein gutes Beispiel dafür ist die Idee der intrinsischen Dimension : Wenn wir darauf bestehen, Oberflächen als in einen Umgebungsraum eingebettet zu denken, ist es natürlich zu sagen, dass die Hohlkugel dreidimensional ist, während die Klein-Flasche vierdimensional ist, aber der richtige Weg Wenn man über die Dinge nachdenkt, stellt sich heraus, dass sie jeweils zweidimensional sind.