Zeigen Sie, dass ein Verhältnistest für eine bestimmte Reihe nicht schlüssig ist, und bestimmen Sie dann, ob die Reihe konvergiert/divergiert?

Question

Zeigen Sie, dass ein Verhältnistest für eine bestimmte Reihe nicht schlüssig ist, und bestimmen Sie dann, ob die Reihe konvergiert/divergiert?

Infinitesimalrechnung
Mathematik
divergente Reihe
Folgen-und-Serien
Konvergenz-Divergenz

gticecream8

4. Betrachten Sie die Serie $\sum a_n$ Wo
$A_{N} = {\begin{cases} N / 2^{N} & N seltsam \\ 1 / 2^{N} & N selbst \end{cases}$ $a_n=\begin{cases}n/2^n&n\text{ odd}\\1/2^n&n\text{ even}\end{cases}$

A. Zeigen Sie, dass der Ratio-Test nicht schlüssig ist

B. Verwenden Sie den Wurzeltest, um festzustellen, ob die Reihe konvergent oder divergent ist.

Nicht sicher, wie man das macht..

Sarvesh Ravichandran Iyer

Der Weg, dies zu tun, besteht darin, den Test anzuwenden. Sie fügen die Sequenz in den Test ein, finden die benötigte Menge, prüfen, ob sie kleiner, größer oder gleich eins ist, und schließen ab. Wenn Sie beim Anwenden des Tests nicht weiterkommen, posten Sie, was Sie getan haben, denn wenn es so klar ist, dass Sie den Test durchführen sollten, dann hätten Sie es sicher schon getan.

gticecream8

@астонвіллаолофмэллбэрг Ich habe versucht, den Test anzuwenden, separat, wenn n ungerade und wenn n gerade ist. War ich richtig, den Test zweimal durchzuführen, einmal für n = ungerade und einmal für n = gerade?

Sarvesh Ravichandran Iyer

Ja, du hattest recht. Die folgende Antwort gibt Ihnen jedoch einen besseren Hinweis.

Iwan Neretin

Außerdem ist es nicht richtig, das Wort „harmonisch“ zu verwenden, nur weil man seinen Klang mag.

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Zeigen Sie, dass ein Verhältnistest für eine bestimmte Reihe nicht schlüssig ist, und bestimmen Sie dann, ob die Reihe konvergiert/divergiert?

Der Weg, dies zu tun, besteht darin, den Test anzuwenden. Sie fügen die Sequenz in den Test ein, finden die benötigte Menge, prüfen, ob sie kleiner, größer oder gleich eins ist, und schließen ab. Wenn Sie beim Anwenden des Tests nicht weiterkommen, posten Sie, was Sie getan haben, denn wenn es so klar ist, dass Sie den Test durchführen sollten, dann hätten Sie es sicher schon getan.
@астонвіллаолофмэллбэрг Ich habe versucht, den Test anzuwenden, separat, wenn n ungerade und wenn n gerade ist. War ich richtig, den Test zweimal durchzuführen, einmal für n = ungerade und einmal für n = gerade?
Ja, du hattest recht. Die folgende Antwort gibt Ihnen jedoch einen besseren Hinweis.
Außerdem ist es nicht richtig, das Wort „harmonisch“ zu verwenden, nur weil man seinen Klang mag.

Don Antonio · Answer 1

Hinweise:

Der Ratio-Test gibt

\frac{A_{N + 1}}{A_{N}} = {\begin{cases} \frac{\frac{N + 1}{2^{N + 1}}}{\frac{1}{2^{N}}} = \frac{N + 1}{2}, & N ist gerade \\ \frac{\frac{1}{2^{N + 1}}}{\frac{N}{2^{N}}} = \frac{1}{2 N}, & N ist ungerade \end{cases}

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\begin{cases}\cfrac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac1{2^n}}=\frac{n+1}2\,,&n\;\text{ is even}\\{}\\\cfrac{\frac1{2^{n+1}}}{\frac n{2^n}}=\frac1{2n}\,,&n\;\text{ is odd}\end{cases}$

und somit existiert die Grenze nicht, also ...

Für die $\;n\,-$ Wurzeltest:

\sqrt[N]{A_{N}} = {\begin{cases} \frac{\sqrt[N]{N}}{2}, & N ist ungerade \\ \frac{1}{2}, & N ist gerade \end{cases} \to_{N \to \infty}^{} \dots

$\sqrt[n]{a_n}=\begin{cases}\cfrac{\sqrt[n]n}2\,,&n\;\text{ is odd}\\{}\\\;\;\;\cfrac12\,,&n\;\text{ is even}\end{cases}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\ldots$

und somit existiert die Grenze und...

Benutzer4414 · Answer 2

Die Serie ist eine Kombination aus geometrischen Serien und Gabriel's Staircase :

\sum_{k = 0}^{\infty} A_{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} A_{2 k} + \sum_{k = 0}^{\infty} A_{2 k + 1} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{2 k} + \sum_{k = 0}^{\infty} (2 k + 1) (\frac{1}{2})^{2 k + 1}

$\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty a_{2k}+\sum_{k=0}^\infty a_{2k+1} = \sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{2})^{2k} + \sum_{k=0}^\infty (2k+1)(\frac{1}{2})^{2k+1}$ Wir teilen wieder auf, ordnen neu an und kombinieren wieder:

= \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{2 k} + \sum_{k = 0}^{\infty} k (\frac{1}{4})^{k} + \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{2 k + 1} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{k} + \sum_{k = 0}^{\infty} k (\frac{1}{4})^{k}

$= \sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{2})^{2k} + \sum_{k=0}^\infty k (\frac{1}{4})^{k} + \sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{2})^{2k+1} = \sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{2})^{k} + \sum_{k=0}^\infty k (\frac{1}{4})^{k}$ Nun konvergieren beide Reihen und wir erhalten als kombinierten Wert:

= \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} \frac{1}{(1 - \frac{1}{4})^{2}} = 2 + \frac{1}{4} \frac{16}{9} = \frac{22}{9}

$= \frac{1}{1-\frac{1}{2}} + \frac{1}{4} \frac{1}{(1-\frac{1}{4})^2} = 2 + \frac{1}{4} \frac{16}{9} = \frac{22}{9}$

Zeigen Sie, dass ein Verhältnistest für eine bestimmte Reihe nicht schlüssig ist, und bestimmen Sie dann, ob die Reihe konvergiert/divergiert?

gticecream8

Sarvesh Ravichandran Iyer

gticecream8

Sarvesh Ravichandran Iyer

Iwan Neretin

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Don Antonio

Benutzer4414

Bestimmen Sie, ob die Reihe ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} konvergent oder divergent ist.

Serienvereinfachung

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k konvergiert absolut und ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k konvergiert Tut dies implizieren, dass ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) konvergiert?

Beweisen Sie, dass eine konvergente Folge entweder ein Minimum, ein Maximum oder beides hat.

Konvergenz einer bestimmten unendlichen Reihe

Parametrische Konvergenz unendlicher Reihen

Ist diese Reihe ∑n=0∞1+sinn10n∑n=0∞1+sin⁡n10n\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1+\sin n}{10^n} divergent oder konvergent? ?

Bestimmen Sie, ob die Reihen absolut konvergieren, bedingt konvergieren oder divergieren

Bestimmen Sie, ob diese Reihe absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent ist?

Bestimmen Sie, ob ∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}(\frac{n}{n^2+1}) ist absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent.