Bestimmen Sie, ob die Reihen absolut konvergieren, bedingt konvergieren oder divergieren

Question

Bestimmen Sie, ob die Reihen absolut konvergieren, bedingt konvergieren oder divergieren

Infinitesimalrechnung
Mathematik
Sequenzen-und-Serien
Konvergenz-Divergenz

bdvg2302

Die Serie ist $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}$ .

In meinem Buch sehe ich nur Beispiele und Übungen, um festzustellen, ob die Reihen in alternierenden Reihen absolut konvergieren, bedingt konvergieren oder divergieren.

Diese Serie ist nicht alternierend. Ich möchte also sicherstellen, dass meine Analyse richtig ist.

Ich habe diese Regeln:

Die Serie $\sum a_n$ Ist:

Absolut konvergent wenn $\sum |a_n|$ konvergiert.
Bedingt konvergent, wenn $\sum |a_n|$ weicht aber ab $\sum a_n$ konvergiert.
Abweichend wenn $\sum |a_n|$ weicht aber ab $\sum a_n$ weicht auch ab.

Lassen Sie mich wissen, ob die Zusammenfassung dieser Regeln in Ordnung ist.

Befolgen Sie dann diese Regeln:

$\sum_{n=1}^{\infty}|\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}$

Ich verwende den direkten Vergleichstest:

$\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}<\frac{n^2}{n^5}=\frac{1}{n^3}$

Dann:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ konvergiert, weil $p=3>1$ von $p$ -Serie.

Deshalb durch den direkten Vergleichstest $\sum \frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}$ konvergiert auch.

Deshalb $\sum \frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}$ ist absolut konvergent.

Habe ich recht?

Vielen Dank im Voraus für Ihre Zeit.

Gregor Martin

Die Ungleichheit

\frac{n^{2} + 1}{n^{5} - n^{4} + 3 n} < \frac{n^{2}}{n^{5}}

$\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}<\frac{n^2}{n^5}$ ist falsch (probieren Sie bestimmte Werte von

n

$n$ , oder betrachten Sie Zähler und Nenner getrennt). Kennen Sie den Limitvergleichstest?

Adam Rubinson

Grundsätzlich haben Sie Recht, aber seien Sie bei einigen Details vorsichtig, wie Greg betonte.

bdvg2302

@GregMartin Ich kenne den Limitvergleichstest. Aber ich benutze es, wenn keines der Kriterien des Direktvergleichstests erfüllt ist. das habe ich gesehen

\frac{n^{2} + 1}{n^{5} - n^{4} + 3 n} > \frac{n^{2}}{n^{5}}

$\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}>\frac{n^2}{n^5}$ für n > 1,175. Also da geht meine Serie aus

1

$1$ Zu

\infty

$\infty$ Und

\frac{n^{2} + 1}{n^{5} - n^{4} + 3 n} ≮ \frac{n^{2}}{n^{5}}

$\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}\nless\frac{n^2}{n^5}$ im ganzen Intervall

[1, \infty)

$[1,\infty)$ muss ich den Limitvergleichstest verwenden?

Gregor Martin

Ich würde es nicht als "Ich muss den Grenzwertvergleichstest verwenden" betrachten, sondern eher als "Mein aktuelles Argument ist mathematisch falsch, also muss ich es ändern". Das LCT ist mein Vorschlag für ein Werkzeug, das am ehesten mit Ihrem derzeitigen Denken übereinstimmt, aber nicht denselben Fehlern zum Opfer fällt.

bdvg2302

@GregMartin Es tut mir leid, aber ich folge nicht. Ändern Sie mein Argument genau in was? Wenn ich das LCT verwende, wäre es

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{n^{2} + 1}{n^{5} - n^{4} + 3 n}}{\frac{1}{n^{3}}}

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}}{\frac{1}{n^3}}$ . Das Ergebnis davon wäre 1 und weil ist endlich und positiv und weil

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ durch den p-Reihen-Test konvergiert, dann konvergieren beide. Deshalb,

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} + 1}{n^{5} - n^{4} + 3 n}

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}$ ist absolut konvergent?

Antworten (1)

Bestimmen Sie, ob die Reihen absolut konvergieren, bedingt konvergieren oder divergieren

Die Ungleichheit $\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}<\frac{n^2}{n^5}$ ist falsch (probieren Sie bestimmte Werte von $n$ , oder betrachten Sie Zähler und Nenner getrennt). Kennen Sie den Limitvergleichstest?
Grundsätzlich haben Sie Recht, aber seien Sie bei einigen Details vorsichtig, wie Greg betonte.
@GregMartin Ich kenne den Limitvergleichstest. Aber ich benutze es, wenn keines der Kriterien des Direktvergleichstests erfüllt ist. das habe ich gesehen $\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}>\frac{n^2}{n^5}$ für n > 1,175. Also da geht meine Serie aus $1$ Zu $\infty$ Und $\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}\nless\frac{n^2}{n^5}$ im ganzen Intervall $[1,\infty)$ muss ich den Limitvergleichstest verwenden?
Ich würde es nicht als "Ich muss den Grenzwertvergleichstest verwenden" betrachten, sondern eher als "Mein aktuelles Argument ist mathematisch falsch, also muss ich es ändern". Das LCT ist mein Vorschlag für ein Werkzeug, das am ehesten mit Ihrem derzeitigen Denken übereinstimmt, aber nicht denselben Fehlern zum Opfer fällt.
@GregMartin Es tut mir leid, aber ich folge nicht. Ändern Sie mein Argument genau in was? Wenn ich das LCT verwende, wäre es $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}}{\frac{1}{n^3}}$ . Das Ergebnis davon wäre 1 und weil ist endlich und positiv und weil $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ durch den p-Reihen-Test konvergiert, dann konvergieren beide. Deshalb, $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+1}{n^5-n^4+3n}$ ist absolut konvergent?

Moni145 · Answer 1

Zunächst einmal ist Ihre Serie nicht alternierend, daher können Sie den Alternating Series Test nicht verwenden. Die Begriffe "absolut \ bedingt konvergieren" gelten NUR für alternierende Reihen. Wenn Ihre Reihe nicht alterniert, konvergiert sie entweder nur oder divergiert. Diese Bedingungen gelten nicht. Man könnte sagen, es ist absolut konvergent, weil der absolute Wert den Wert der Summe nicht beeinflusst, aber das ist eher unnötig.

Beachten Sie, dass Sie ein Gradpolynom haben $2$ auf dem Zähler und einem Gradpolynom $5$ im Nenner. So wie $n$ sehr groß wird, sieht dieser Bruchteil immer ähnlicher aus $\frac{n^2}{n^5} = \frac{1}{n^3}$ . Hier ist eine Grafik mit $\frac{1}{n^3}$ in rot u $\frac{n^2+1}{n^5-n^4+n}$ in Blau. Beachten Sie, dass die Funktionen zusammen gegen Null konvergieren als $n$ wird groß. Das ist die Idee hinter dem Limit-Vergleichstest, der so abläuft:

Angenommen, wir haben zwei Reihen $\sum a_n$ Und $\sum b_n$ , und lass $L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}$ . Wenn $L$ ist dann endlich und positiv $a_n$ Und $b_n$ entweder BEIDE konvergieren oder BEIDE divergieren. Sonst können wir zu keinem Ergebnis kommen.

So nimm $a_n$ = $\frac{1}{n^3}$ Und $b_n = \frac{n^2+1}{n^5-n^4+n}.$ Dann,

\frac{A_{N}}{B_{N}} = \frac{\frac{1}{N^{3}}}{\frac{N^{2} + 1}{N^{5} - N^{4} + N}} = \frac{N^{5} - N^{4} + 1}{N^{5} + N^{3}}

$\frac{a_n}{b_n} = \frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{n^2+1}{n^5-n^4+n}} = \frac{n^5 - n^4 + 1}{n^5+n^3}$

Und wenn wir die Grenze nehmen, sehen wir das

L = lim_{N \to \infty} \frac{A_{N}}{B_{N}} = lim_{N \to \infty} \frac{N^{5} - N^{4} + 1}{N^{5} + N^{3}} = 1

$L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^5 - n^4 + 1}{n^5+n^3} = 1$

Weil $L=1$ , es ist positiv und endlich, und wir schließen daraus, dass BEIDES $\sum\frac{1}{n^3}$ Und $\sum\frac{n^2+1}{n^5-n^4+n}$ konvergieren oder beide divergieren. Weil $\sum\frac{1}{n^3}$ konvergiert, wissen wir, dass unsere gegebene Summe $\sum\frac{n^2+1}{n^5-n^4+n}$ , müssen ebenfalls konvergieren.

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Moni145

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k konvergiert absolut und ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k konvergiert Tut dies implizieren, dass ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) konvergiert?

Beweisen Sie, dass eine konvergente Folge entweder ein Minimum, ein Maximum oder beides hat.

Zeigen Sie, dass ein Verhältnistest für eine bestimmte Reihe nicht schlüssig ist, und bestimmen Sie dann, ob die Reihe konvergiert/divergiert?

Bestimmen Sie, ob die Reihe ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} konvergent oder divergent ist.

Konvergenz einer bestimmten unendlichen Reihe

Parametrische Konvergenz unendlicher Reihen

Ist diese Reihe ∑n=0∞1+sinn10n∑n=0∞1+sin⁡n10n\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1+\sin n}{10^n} divergent oder konvergent? ?

Bestimmen Sie, ob ∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}(\frac{n}{n^2+1}) ist absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent.

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