Verhältnistest und Wurzeltest

Question

Verhältnistest und Wurzeltest

Mathematik
Realanalyse
Folgen-und-Serien
Konvergenz-Divergenz

ajotatxe

In Mathematical Analysis von Tom M. Apostol heißt es, dass der Wurzeltest "stärker" ist als der Verhältnistest, weil es Serien gibt, deren Konvergenz durch den ersteren, aber nicht durch den letzteren bestimmt werden kann.

Frage : Ich suche ein Beispiel dafür. Ich ziehe als Beispiel eine Reihe positiver Terme vor, bei denen beide Grenzen von $a_{n+1}/a_n$ Und $\sqrt[n]{a_n}$ existieren. Mit anderen Worten, ich brauche eine Sequenz $(a_n)_n$ von positiven Begriffen wie das $a_{n+1}/a_n\to 1$ Und $\sqrt[n]{a_n}\to r\neq 1$ .

Versuch : Ich habe es versucht $\sum\dfrac{n!}{n^n}$ , aber der Ratio-Test ergibt $1/e<1$ . Irgendein Vorschlag?

Hinweis : Das Beispiel kann divergent oder konvergent sein.

lhf

Siehe en.wikipedia.org/wiki/Root_test#Examples

ajotatxe

@lhf Danke, aber wie gesagt, ich bevorzuge Beispiele, bei denen beide Grenzen existieren. Der Leser des Beispiels hat keine Ahnung von

lim sup

$\limsup$ .

lhf

Wenn beide Grenzen existieren, fallen sie zusammen.

Kaffeemath

Beachten Sie, dass (für positive Terme), wenn der Wurzeltest eine Grenze ergibt, die existiert und kleiner ist als

1

$1$ dann konvergiert die Reihe. Ihr "Beispiel kann divergent oder konvergent sein" sollte also wirklich nur "konvergent" als Option haben.

ajotatxe

@Kaffeemath Das stimmt. Bearbeitet.

ajotatxe

@lhf Irgendein Beweis? Literaturverzeichnis ist für mich ok.

Doug M

Ich erinnere mich an meinen Prof. sagen, dass es einfacher ist, den Wurzeltest zu verwenden, wenn Sie in der Zusammenfassung arbeiten und Beweise schreiben, aber im Allgemeinen einfacher, den Verhältnistest zu verwenden, wenn Sie mit einer bestimmten Serie arbeiten. Ich weiß allerdings nicht, ob "stärker" das richtige Adjektiv ist.

ajotatxe

@Doug Die genauen Worte sind: "HINWEIS. Der Stammtest ist "leistungsstärker" als der Verhältnistest. Das heißt, wenn der Stammtest nicht schlüssig ist, ist dies auch der Verhältnistest. Aber es gibt Beispiele, bei denen der Verhältnistest fehlschlägt und die Root-Test ist schlüssig."

Don Antonio

Ich denke, die wirkliche Potenz in beiden Tests, insbesondere dem Wurzeltest und auch in der Cauchy-Hadamard-Formel für Potenzreihen, ist, wenn man die verwendet

lim sup

$\;\limsup\;$

ThomasL

Schau mal unter math.stackexchange.com/questions/2395048/…

ajotatxe

@ThomasL Dies ist das gleiche Beispiel wie im ersten Kommentar.

Antworten (2)

Verhältnistest und Wurzeltest

@lhf Danke, aber wie gesagt, ich bevorzuge Beispiele, bei denen beide Grenzen existieren. Der Leser des Beispiels hat keine Ahnung von $\limsup$ .
Beachten Sie, dass (für positive Terme), wenn der Wurzeltest eine Grenze ergibt, die existiert und kleiner ist als $1$ dann konvergiert die Reihe. Ihr "Beispiel kann divergent oder konvergent sein" sollte also wirklich nur "konvergent" als Option haben.
@lhf Irgendein Beweis? Literaturverzeichnis ist für mich ok.
Ich erinnere mich an meinen Prof. sagen, dass es einfacher ist, den Wurzeltest zu verwenden, wenn Sie in der Zusammenfassung arbeiten und Beweise schreiben, aber im Allgemeinen einfacher, den Verhältnistest zu verwenden, wenn Sie mit einer bestimmten Serie arbeiten. Ich weiß allerdings nicht, ob "stärker" das richtige Adjektiv ist.
@Doug Die genauen Worte sind: "HINWEIS. Der Stammtest ist "leistungsstärker" als der Verhältnistest. Das heißt, wenn der Stammtest nicht schlüssig ist, ist dies auch der Verhältnistest. Aber es gibt Beispiele, bei denen der Verhältnistest fehlschlägt und die Root-Test ist schlüssig."
Ich denke, die wirkliche Potenz in beiden Tests, insbesondere dem Wurzeltest und auch in der Cauchy-Hadamard-Formel für Potenzreihen, ist, wenn man die verwendet $\;\limsup\;$
Schau mal unter math.stackexchange.com/questions/2395048/…
@ThomasL Dies ist das gleiche Beispiel wie im ersten Kommentar.

Metamorphie · Answer 1

lim_{N \to \infty} (Protokoll A_{N + 1} - Protokoll A_{N}) = Protokoll L ⟹ lim_{N \to \infty} \frac{Protokoll A_{N}}{N} = Protokoll L

$\lim_{n\to\infty}(\log a_{n+1}-\log a_n)=\log L\implies\lim_{n\to\infty}\frac{\log a_n}{n}=\log L$ nach Stolz-Cesàro-Theorem (Erklärung des Kommentars von @lhf).

Taladris · Answer 2

Wie in den Kommentaren erwähnt:

Wenn $\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\ell$ , Dann $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_{n}}=\ell$ (für eine Folge $b_n>0$ ).

Insbesondere wenn beide Grenzwerte vorhanden sind, müssen sie gleich sein, sodass das Gegenbeispiel, das das OP in Betracht zieht, nicht existiert.

Beweis: Let $\epsilon>0$ . Dann gibt es $N>0$ so dass, für alle $n\geqslant N$ , wir haben

ℓ - \frac{ϵ}{2} < \frac{B_{N + 1}}{B_{N}} < ℓ + \frac{ϵ}{2}

$\ell-\frac{\epsilon}{2}<\frac{b_{n+1}}{b_n}<\ell+\frac{\epsilon}{2}$

So $b_n\left(\ell-\frac{\epsilon}{2}\right)<b_{n+1}<b_n\left(\ell+\frac{\epsilon}{2}\right)$ . Durch Induktion haben wir

B_{N} {(ℓ - \frac{ϵ}{2})}^{N - N} < B_{N} < B_{N} {(ℓ + \frac{ϵ}{2})}^{N - N}

$b_N\left(\ell-\frac{\epsilon}{2}\right)^{n-N}<b_{n}<b_N\left(\ell+\frac{\epsilon}{2}\right)^{n-N}$

So

\sqrt[N]{B_{N} {(ℓ - \frac{ϵ}{2})}^{N - N}} < \sqrt[N]{B_{N}} < \sqrt[N]{B_{N} {(ℓ + \frac{ϵ}{2})}^{N - N}}

$\sqrt[n]{b_N\left(\ell-\frac{\epsilon}{2}\right)^{n-N}}<\sqrt[n]{b_{n}}<\sqrt[n]{b_N\left(\ell+\frac{\epsilon}{2}\right)^{n-N}}$

Aber $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{b_N\left(\ell-\frac{\epsilon}{2}\right)^{n-N}}=\ell-\frac{\epsilon}{2}$ Und $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{b_N\left(\ell+\frac{\epsilon}{2}\right)^{n-N}}=\ell+\frac{\epsilon}{2}$ . Dies bedeutet, dass für $n$ groß genug, wir haben $\ell-{\epsilon} <\sqrt[n]{b_n}<\ell+\epsilon$ , das ist $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_n}=\ell$ . $\square$

Hier ist ein Beispiel, das zeigt, dass der Root-Test absolut stärker ist als der Ratio-Test, das heißt, es gibt Situationen, in denen wir mit dem Root-Test schließen können, aber nicht mit dem Ratio-Test:

In Betracht ziehen $a_n=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{1}{3^n}, & n \textrm{ even} \\ \frac{4}{3^n}, & n \textrm{ odd} \end{array} \right.$ , So $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{4}{3}, & n \textrm{ even} \\ \frac{1}{12}, & n \textrm{ odd} \end{array} \right.$ . Deshalb, $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$ existiert nicht und der Verhältnistest ist nicht schlüssig.

Andererseits haben wir $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{3}<1$ , So $\sum_n a_n$ ist nach dem Wurzeltest konvergent.

Ein weiteres meiner Lieblingsbeispiele ist $a_n=d_nx^n$ Wo $d_n$ ist die Anzahl der Faktoren von $n$ (für $n\ge 1$ ). Die Grenze von $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$ existiert nicht, aber die Grenze von $\sqrt[n]{|a_n|}$ Ist $|x|$ , also die Potenzreihe $\sum_{n=1}^\infty d_nx^n$ konvegiert genau dann, wenn $|x|<1$ .

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Metamorphie

Taladris

Konvergenz der Reihe ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} für x>0x>0x>0

Bestimmen Sie, ob die Reihe ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} konvergent oder divergent ist.

Konvergenz einer bestimmten unendlichen Reihe

Ist ∑∞n=4(1log(log(n)))log(n)∑n=4∞(1log⁡(log⁡(n)))log⁡(n)\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)} konvergieren?

Bestimmen Sie, ob die Reihe absolut konvergiert, bedingt konvergiert oder divergiert.

Abwechselnde Kombination einer konvergenten und einer divergenten Reihe

Habe ich die Konvergenz dieser Reihe richtig verifiziert?

Frage zur Auswertung einer Grenze einer Folge.

Bestimmen Sie, ob diese Reihe konvergiert oder nicht.

Bestimmen Sie, ob die Reihe absolut, bedingt oder divergiert.