Bestimmen Sie, ob diese Reihe konvergiert oder nicht.

Question

Bestimmen Sie, ob diese Reihe konvergiert oder nicht.

Mathematik
Realanalyse
Folgen-und-Serien
Konvergenz-Divergenz

RK

Ich muss bestimmen, ob die folgende Reihe konvergiert:

\sum_{N = 1}^{\infty} Sünde bräunen \frac{1}{N}

$\sum_{n=1}^{\infty}\sin{\tan{\frac{1}{n}}}$ Ich sehe das

\sum_{n = 1}^{\infty} \tan \frac{1}{n}

$\sum_{n=1}^{\infty}\tan{\frac{1}{n}}$ offensichtlich divergiert, so tut es

\sum_{n = 1}^{\infty} \sin \frac{1}{n}

$\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$ kann aber immer noch nicht herausfinden, wie man den Vergleichstest für die obige Serie verwendet.

zw.

\sin x > x / 2

$\sin x > x/2$ für kleines positives

x .

$x.$

Antworten (4)

Bestimmen Sie, ob diese Reihe konvergiert oder nicht.

Spender · Answer 1

Wir haben

Sünde j \geq \frac{2}{π} j

$\sin y\geq \frac{2}{\pi}y$ für

0 \leq y \leq π / 2

$0\leq y\leq \pi/2$ (durch Konkavität) und

bräunen X \geq X

$\tan x\geq x$ für

0 \leq x < π / 2

$0\leq x< \pi/2$ . Wenn wir diese kombinieren, erhalten wir

Sünde bräunen X \geq \frac{2}{π} X

$\sin\tan x\geq \frac{2}{\pi} x$ für

0 \leq x \leq \arctan (π / 2) ≃ 1.00388

$0\leq x\leq \arctan(\pi/2)\simeq 1.00388$ . Insbesondere,

$Sünde bräunen \frac{1}{N} \geq \frac{2}{N π} für alle N \geq 1$ $\sin \tan\frac{1}{n}\geq\frac{2}{n\pi}\quad\text{for all }n\geq 1$

und daher divergiert die Reihe durch den Vergleichstest

Fernando Revilla · Answer 2

Verwenden $\sin \epsilon \sim \epsilon$ Ameise $\tan \epsilon \sim \epsilon$ als $\epsilon\to 0$ und der Quotientenvergleichstest:

lim_{N \to + \infty} \frac{Sünde bräunen \frac{1}{N}}{\frac{1}{N}} = lim_{N \to + \infty} \frac{bräunen \frac{1}{N}}{\frac{1}{N}} = lim_{N \to + \infty} \frac{\frac{1}{N}}{\frac{1}{N}} = 1 \neq 0

$\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\sin{\tan{\dfrac{1}{n}}}}{\dfrac{1}{n}}=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{{\tan{\dfrac{1}{n}}}}{\dfrac{1}{n}}=\lim_{n\to +\infty}\frac{\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}}=1\ne 0$

\Rightarrow \sum_{N = 1}^{\infty} Sünde bräunen \frac{1}{N} \sim \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{1}{N} (abweichend).

$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\sin{\tan{\dfrac{1}{n}}}\sim \sum_{n=1}^{\infty}{{\dfrac{1}{n}}}\text{ (divergent).}$

Bernhard · Answer 3

Da dies eine Reihe mit positiven Termen ist, können Sie Äquivalenz verwenden : $\sin u\sim_0 u$ , also die Serie $\sin\tan\dfrac1n\sim_\infty\tan \dfrac1n$ , und äquivalente Reihen mit positiven Termen konvergieren beide oder divergieren beide.

Warum sollten wir sin(x) -> x verwenden. Ich meine, da n gegen unendlich tendiert, tendiert sein offensichtliches x gegen 0 und daher können wir es verwenden. Aber es wäre nicht gut für frühere Terme, wenn n klein ist. Ich habe diese Schwierigkeit, die Tatsache zu verstehen, dass die Reihe konvergiert, wenn der n-te Term gegen etwas konvergiert. Denn ich denke, die bisherigen AGB sollten sich auch auswirken. Ich hoffe, ich habe meine Zweifel richtig erklärt. Seit Wochen herrscht Verwirrung.
Ich habe nicht gesagt $\sin x$ dazu neigen $x$ – was bedeutungslos ist. Ich sagte, es sei gleich in der Nähe $0$ , was in der asymptotischen Analyse eine sehr genaue Bedeutung hat . Dies ermöglicht die Verwendung des Konvergenz-/Divergenz-Kriteriums für äquivalente Reihen.

Nosrati · Answer 4

Die Salbung $f(x)=\sin{\tan{\dfrac{1}{x}}}$ ist kontinuierlich, positiv und nimmt ab $[1,\infty)$ , mit Integraltest haben wir

\sum_{N = 1}^{\infty} Sünde bräunen \frac{1}{N} = \int_{1}^{\infty} Sünde bräunen \frac{1}{X} D X = \int_{1}^{0} Sünde bräunen u \frac{- 1}{u^{2}} D X = \int_{0}^{1} \frac{Sünde bräunen u}{u^{2}} D X \geq \int_{0}^{1} \frac{1}{2 u} D X = \infty

$\sum_{n=1}^{\infty}\sin{\tan{\frac{1}{n}}}=\int_1^\infty\sin{\tan{\frac{1}{x}}}dx=\int_1^0\sin{\tan{u}}\frac{-1}{u^2}dx=\int_0^1\frac{\sin{\tan{u}}}{u^2}dx\geq\int_0^1\frac{1}{2u}dx=\infty$

Bestimmen Sie, ob diese Reihe konvergiert oder nicht.

RK

zw.

Antworten (4)

Spender

Fernando Revilla

Bernhard

Schaschaank

Bernhard

Schaschaank

Nosrati

Konvergenz der Reihe ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} für x>0x>0x>0

Bestimmen Sie, ob die Reihe ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} konvergent oder divergent ist.

Konvergenz einer bestimmten unendlichen Reihe

Ist ∑∞n=4(1log(log(n)))log(n)∑n=4∞(1log⁡(log⁡(n)))log⁡(n)\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)} konvergieren?

Bestimmen Sie, ob die Reihe absolut konvergiert, bedingt konvergiert oder divergiert.

Abwechselnde Kombination einer konvergenten und einer divergenten Reihe

Habe ich die Konvergenz dieser Reihe richtig verifiziert?

Verhältnistest und Wurzeltest

Frage zur Auswertung einer Grenze einer Folge.

Bestimmen Sie, ob die Reihe absolut, bedingt oder divergiert.