Alternierende Reihenvariante einer konvergenten Reihe

Question

Alternierende Reihenvariante einer konvergenten Reihe

Infinitesimalrechnung
Mathematik
absolute Konvergenz
Sequenzen-und-Serien
Konvergenz-Divergenz

ElectronicGeek

Ich versuche zu beweisen, ob die folgende Reihe konvergent oder divergent ist oder ob nicht genügend Informationen vorhanden sind.

Wenn die Reihe ∑ a _n konvergent ist und positive Terme hat, was ist dann die Reihe unten?

\sum (- 1)^{N} A_{N}

$\sum{(-1)^na_n}$

Ich weiß, dass die Reihe a_n absolut konvergent ist, also sollte die abwechselnde konvergent sein, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das beweisen soll. Die Grenze von a n, _wenn n gegen unendlich geht, ist 0, also sollte a _n schließlich abnehmen, daher sollte es durch den Alternating Series Test konvergent sein.

Schnufsan

Der Satz von Leibnitz beweist das

David Mitra

Verwenden

| \sum_{n = k}^{k + m} (- 1)^{n} a_{n} | \leq \sum_{n = k}^{k + m} | a_{n} |

$\Bigl|\sum_{n=k}^{k+m} (-1)^n a_n\Bigr|\le \sum_{n=k}^{k+m}|a_n|$ .

ElectronicGeek

Danke, David, das funktioniert!

Antworten (2)

Alternierende Reihenvariante einer konvergenten Reihe

Verwenden $\Bigl|\sum_{n=k}^{k+m} (-1)^n a_n\Bigr|\le \sum_{n=k}^{k+m}|a_n|$ .

Jack M · Answer 1

Die allgemeine Regel lautet: Wenn $\sum|x_n|$ konvergiert dann $\sum x_n$ konvergiert. Dies ist eine einfache Anwendung dieser Tatsache.

Andre Nicolas · Answer 2

Durch die Konvergenz von $\sum_0^\infty a_k$ , der Ablauf $(s_n)$ , Wo $s_n=\sum_0^n (-1)^k a_k$ ist eine Cauchy-Folge.

Beweis: Wenn $m\lt n$ , Dann $|s_n-s_m|\le a_{m+1}+\cdots +a_n$ .

Ich habe Cauchy-Folgen nicht studiert, gibt es eine andere Möglichkeit, dies zu tun?
@ElectronicGeek Wenn Sie sich mit absoluter Konvergenz auskennen, sollten Sie Cauchy-Folgen studiert haben, da Sie normalerweise damit beweisen, dass absolute Konvergenz Konvergenz impliziert.

Alternierende Reihenvariante einer konvergenten Reihe

ElectronicGeek

Schnufsan

David Mitra

ElectronicGeek

Antworten (2)

Jack M

Andre Nicolas

ElectronicGeek

Jack M

Andre Nicolas

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k konvergiert absolut und ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k konvergiert Tut dies implizieren, dass ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) konvergiert?

Bestimmen Sie, ob ∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}(\frac{n}{n^2+1}) ist absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent.

Ist die Reihe ∑∞n=1(−1)n2n+sin(n)∑n=1∞(−1)n2n+sin⁡(n)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{( -1)^n}{2n+\sin(n)} absolut konvergent, konvergent oder divergent?

Satz 3.55 in Baby Rudin: Wie macht man den Beweis sinnvoll?

Beweisen Sie, dass eine konvergente Folge entweder ein Minimum, ein Maximum oder beides hat.

Zeigen Sie, dass ein Verhältnistest für eine bestimmte Reihe nicht schlüssig ist, und bestimmen Sie dann, ob die Reihe konvergiert/divergiert?

Bestimmen Sie, ob die Reihe ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} konvergent oder divergent ist.

Konvergenz einer bestimmten unendlichen Reihe

Parametrische Konvergenz unendlicher Reihen

Ist diese Reihe ∑n=0∞1+sinn10n∑n=0∞1+sin⁡n10n\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1+\sin n}{10^n} divergent oder konvergent? ?