Warum konvergiert diese Reihe nicht absolut? Ist es gleichmäßig konvergent?

Question

Warum konvergiert diese Reihe nicht absolut? Ist es gleichmäßig konvergent?

Mathematik
Realanalyse
gleichmäßige Konvergenz
absolute Konvergenz
Folgen-und-Serien

Nur

$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{x^2+\sqrt{k}}$

Warum konvergiert es nicht absolut? Ich weiß, dass es durch abwechselnden Serientest punktweise konvergiert.

Für gleichmäßige Konvergenz:

Ich habe es mit Annäherung versucht $|R_n(x)|$ und bekam:

$|R_n(x)| \leq \frac{1}{x^2+\sqrt{n+1}}$ was geht $0$ , So $\|R_n\|_\infty \longrightarrow 0$ . Daher konvergiert die Reihe gleichmäßig. Ist das richtig? Und was ist bitte mit absoluter Konvergenz?

Andrew D. Hwang

Wenn ich dieses Argument bewerten würde, würde ich eine obere Grenze unabhängig von sehen wollen

x

$x$ um die "einheitliche Konvergenz" für gerechtfertigt zu halten. :) Für absolute Konvergenz fix

x

$x$ und überlege, wie schnell (oder langsam)

\frac{1}{x^{2} + \sqrt{k}}

$\frac{1}{x^{2} + \sqrt{k}}$ verfällt als

k \to \infty

$k \to \infty$ .

zw.

Du willst sagen

| R_{n} (x) | \leq \frac{1}{x^{2} + \sqrt{n + 1}} \leq \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \to 0.

$|R_n(x)| \leq \frac{1}{x^2+\sqrt{n+1}}\le \frac{1}{\sqrt{n+1}} \to 0.$

Nur

Aber wenn ich halte

x^{2}

$x^2$ Begriff, wo ist das Problem? Die Ungleichung gilt immer noch für jedes x.

zw.

Sie wollen eine gebundene unabhängige

x

$x$

Antworten (1)

Warum konvergiert diese Reihe nicht absolut? Ist es gleichmäßig konvergent?

Wenn ich dieses Argument bewerten würde, würde ich eine obere Grenze unabhängig von sehen wollen $x$ um die "einheitliche Konvergenz" für gerechtfertigt zu halten. :) Für absolute Konvergenz fix $x$ und überlege, wie schnell (oder langsam) $\frac{1}{x^{2} + \sqrt{k}}$ verfällt als $k \to \infty$ .
Du willst sagen $|R_n(x)| \leq \frac{1}{x^2+\sqrt{n+1}}\le \frac{1}{\sqrt{n+1}} \to 0.$
Aber wenn ich halte $x^2$ Begriff, wo ist das Problem? Die Ungleichung gilt immer noch für jedes x.

Daniel Wainfleet · Answer 1

Nicht-absolute Konvergenz: Für alle ausreichend groß $k$ wir haben $x^2+\sqrt k\;<2\sqrt k\;....$ Also für alle außer endlich vielen $k$ wir haben

| \frac{(- 1)^{k + 1}}{X^{2} + \sqrt{k}} | > \frac{1}{2 \sqrt{k}} .

$\left|\frac {(-1)^{k+1}}{x^2+\sqrt k\;}\right|>\frac {1}{2\sqrt k}\;.$ Und

\sum_{k} \frac{1}{2 \sqrt{k}}

$\sum_k\frac {1}{2\sqrt k}$ weicht ab.

Lassen $f_n(x)=\sum_{j=1}^n(-1)^{j+1}/(x^2+\sqrt k\;)$ Und $f(x)=\lim_{n\to \infty}.$ Jetzt $1/(x^2+\sqrt k\;)$ nimmt streng ab $k$ , also für alle $x$ wir haben $|f_n(x)-f(x)|<1/(x^2+\sqrt {k+1}\;)\leq 1/\sqrt {k+1}.$ Seit $1/\sqrt {k+1}\;$ ist unabhängig von $x,$ die Konvergenz ist gleichmäßig.

Ich habe eine Anmerkung zur gleichmäßigen Konvergenz hinzugefügt.

Warum konvergiert diese Reihe nicht absolut? Ist es gleichmäßig konvergent?

Nur

Andrew D. Hwang

zw.

Nur

zw.

Antworten (1)

Daniel Wainfleet

Daniel Wainfleet

Bestimmen Sie, ob die Reihe absolut konvergiert, bedingt konvergiert oder divergiert.

Gleichmäßige Konvergenz einer als Produkt und Faltung gegebenen Folge von Funktionen.

Bestimmen Sie, ob die Reihe absolut, bedingt oder divergiert.

Satz 3.55 in Baby Rudin: Wie macht man den Beweis sinnvoll?

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k konvergiert absolut und ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k konvergiert Tut dies implizieren, dass ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) konvergiert?

Beweis der geschlossenen Approximation der Rekursionsrelation Xk=kXk−1Xk=kXk−1X_k=\frac{k}{X_{k-1}}

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Konvergenz der Reihe ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} für x>0x>0x>0

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Konvergente Folge im vollständigen metrischen Raum, der nicht Cauchy ist?