Konvergente Folge im vollständigen metrischen Raum, der nicht Cauchy ist?

Ich weiß, dass Cauchy-Folgen in metrischen Räumen nicht konvergieren können (aber wenn der metrische Raum vollständig ist, konvergieren sie immer). Kann es eine konvergente Folge (vielleicht in einem vollständigen metrischen Raum) geben, die nicht Cauchy ist, oder folgt "Cauchyness" aus der Konvergenz in einem vollständigen Raum?

Ich denke, dass Konvergenz Cauchy in jedem metrischen Raum impliziert , nicht nur in vollständigen metrischen Räumen.
Konvergente Folgen sind immer Cauchy.
Das macht Sinn, danke!

Antworten (1)

Vermuten lim N → ∞ X N = X . Dann

D ( X N , X M ) ≤ D ( X N , X ) + D ( X , X M ) → 0  als  N , M → ∞
Daher ist jede konvergente Folge in jedem metrischen Raum Cauchy.

Konvergente Folge im vollständigen metrischen Raum, der nicht Cauchy ist?
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