monotone Konvergenz ohne 1 Punkt

Question

monotone Konvergenz ohne 1 Punkt

Mathematik
Realanalyse
Folgen-und-Serien

qwerty43

Angenommen, wir haben eine Folge nichtnegativer stetiger Funktionen $\{f_i(x)\}_1^\infty$ so dass $\sum_{i=1}^\infty f_i(x)$ konvergiert für alle $x\ne 0$ Und $F(x)$ ist eine stetige Funktion, die erfüllt $F(x)=\sum_{i=1}^\infty f_i(x), x\ne 0$ . Bedeutet dies das $F(0) = \sum_{i=1}^\infty f_i(0)$ ?

Sambo

Wie definierst du

F (0)

$F(0)$ Wenn

\sum_{i = 1}^{\infty} f_{i} (0)

$\sum_{i=1}^\infty f_i(0)$ konvergiert nicht?

qwerty43

F(x) ist eine stetige Funktion, die erfüllt

F (x) = \sum_{i = 1}^{\infty} f_{i} (x), x \neq 0

$F(x)=\sum_{i=1}^\infty f_i(x), x\ne 0$

Sambo

Also, wenn ich das richtig verstehe, was Sie zeigen wollen, ist 1) das

\sum_{i = 1}^{\infty} f_{i} (0)

$\sum_{i=1}^\infty f_i(0)$ konvergiert, und 2) dass es genau konvergiert

F (0)

$F(0)$ . Ist das richtig?

qwerty43

Ja, das ist gefragt

Gribouillis

f_{n} (x) = x e^{- n x}

$f_n(x) = x e^{-n x}$ In

[0, 1]

$[0, 1]$ sieht nach einem Gegenbeispiel aus.

qwerty43

Ja, in der Tat.

f_{n} (x) = | x | e^{- n | x |}

$f_n(x) = |x|e^{-n|x|}$ auf echter Linie. Danke!

Gribouillis

@Medo Das Gegenbeispiel funktioniert weil

F (x) = x / (1 - e^{- x})

$F(x) = x/(1-e^{-x})$ , somit

F (0) = 1

$F(0)=1$ . Mit Ihrem Vorschlag würden wir eine Unterbrechung bekommen

F

$F$ .

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Wie definierst du $F(0)$ Wenn $\sum_{i=1}^\infty f_i(0)$ konvergiert nicht?
F(x) ist eine stetige Funktion, die erfüllt $F(x)=\sum_{i=1}^\infty f_i(x), x\ne 0$
Also, wenn ich das richtig verstehe, was Sie zeigen wollen, ist 1) das $\sum_{i=1}^\infty f_i(0)$ konvergiert, und 2) dass es genau konvergiert $F(0)$ . Ist das richtig?
$f_n(x) = x e^{-n x}$ In $[0, 1]$ sieht nach einem Gegenbeispiel aus.
Ja, in der Tat. $f_n(x) = |x|e^{-n|x|}$ auf echter Linie. Danke!
@Medo Das Gegenbeispiel funktioniert weil $F(x) = x/(1-e^{-x})$ , somit $F(0)=1$ . Mit Ihrem Vorschlag würden wir eine Unterbrechung bekommen $F$ .

Sambo · Answer 1

Das ist falsch. Betrachten Sie die Funktionen $g_n$ gegeben von

G_{N} (X) = {\begin{matrix} 0 & X = 0 \\ N X & 0 \leq X \leq 1 / N \\ - N X & - 1 / N \leq X \leq 0 \\ 1 & ansonsten \end{matrix}

$g_n(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 & x = 0 \\ nx & 0 \leq x \leq 1/n \\ -nx & -1/n \leq x \leq 0 \\ 1 & \text{otherwise} \end{matrix} \right.$ Optisch sehen diese Funktionen so aus:

Als $n$ wächst, die Hänge werden steiler und die horizontalen Linien nähern sich der $y$ -Achse.

Lassen $f_1 = g_1$ Und $f_{n+1} = g_{n+1} - g_n$ . Seit $g_{n+1} \geq g_n$ , wir wissen, dass die Funktionen $f_n$ sind nichtnegativ; seit der $g_n$ sind kontinuierlich, so sind die $f_n$ . Außerdem kann man das überprüfen $\sum_{i=1}^n f_i(x) = g_n(x)$ , So

\sum_{ich = 1}^{\infty} F_{ich} (X) = lim_{ich \to \infty} G_{ich} (X) .

$\sum_{i=1}^\infty f_i(x) = \lim \limits_{i \rightarrow \infty} g_i(x).$

Wenn man diese Funktionen grafisch betrachtet, ist das ziemlich klar $\lim \limits_{i \rightarrow \infty} g_i(x)$ ist nur die Funktion, die gleich ist $1$ überall außer bei $x=0$ , woran es liegt $0$ . Das ist:

\sum_{ich = 1}^{\infty} F_{ich} (0) = 0, \sum_{ich = 1}^{\infty} F_{ich} (X) = 1 für X \neq 0.

$\sum_{i=1}^\infty f_i(0) = 0, \qquad \sum_{i=1}^\infty f_i(x)=1 \text{ for } x \neq 0.$ Also, wenn wir nehmen

F (x) = 1

$F(x)=1$ , die konstante Funktion, haben wir

\sum_{i = 1}^{\infty} f_{i} (x) = F (x)

$\sum_{i=1}^\infty f_i(x) = F(x)$ für

x \neq 0

$x \neq 0$ Aber

\sum_{i = 1}^{\infty} f_{i} (0) \neq F (0)

$\sum_{i=1}^\infty f_i(0) \neq F(0)$ .

Gribouillis · Answer 2

Beachten Sie dies zusätzlich zu @Sambos Antwort $\sum f_i(0)$ immer konvergiert, weil für alle $N\in {\mathbb N}$ Und $x\not = 0$ ,

\sum_{ich = 0}^{N} F_{ich} (X) \leq F (X)

$\begin{equation} \sum_{i=0}^N f_i(x) \le F(x) \end{equation}$ Aus Stetigkeit folgt das

\sum_{ich = 0}^{N} F_{ich} (0) \leq F (0)

$\begin{equation} \sum_{i=0}^N f_i(0) \le F(0) \end{equation}$ somit

\sum_{ich = 0}^{\infty} F_{ich} (0) \leq F (0)

$\begin{equation} \sum_{i=0}^{\infty} f_i(0) \le F(0) \end{equation}$ Ein generisches Beispiel für die strenge Ungleichung kann durch eine beliebige Folge gegeben werden

g_{n}

$g_n$ stetiger Funktionen, so dass

\forall N \geq 0, G_{N} \geq G_{N + 1} \geq 0 F_{N} = G_{N} - G_{N + 1}

$\begin{equation} \forall n\ge 0, \quad g_n \ge g_{n+1}\ge 0 \qquad f_n = g_n - g_{n+1} \end{equation}$ Dann

g_{n} (x)

$g_n(x)$ konvergiert punktweise gegen einen Grenzwert

g_{\infty} (x) \geq 0

$g_\infty(x) \ge 0$ Und

\sum_{ich = 0}^{\infty} F_{ich} = G_{0} - G_{\infty}

$\begin{equation} \sum_{i=0}^\infty f_i = g_0 - g_\infty \end{equation}$ Wenn die Konvergenz der

g_{n}

$g_n$ ist nicht einheitlich in der Nähe

x = 0

$x=0$ , das Limit

g_{\infty}

$g_\infty$ hat eine Diskontinuität (nach Satz von Dini). Mit unseren Hypothesen auf

F

$F$ , die einzig mögliche Diskontinuität ist bei

x = 0

$x=0$ .

Zum Beispiel die Reihenfolge $g_n(x)=\displaystyle \frac{1}{(1+x^2)^{n}}$ Anzüge.

Danke, dass du das hinzugefügt hast! Ich vermutete, dass wir immer Konvergenz hatten, und das ist ein wirklich schöner Beweis dafür.

Medo · Answer 3

Wir wissen, dass ein Gegenbeispiel gefunden werden kann (was bereits in früheren Antworten erreicht wurde). Dies unterscheidet die gleichmäßige Konvergenz von der punktweisen Konvergenz. Wenn eine Reihe stetiger Funktionen auf einer Menge gleichmäßig konvergiert (dh die Folge ihrer Partialsummen gleichmäßig konvergiert). $D$ , dann ist ihre Summe eine stetige Funktion an $D$ . Die Summe ist nicht unbedingt stetig, wenn die Konvergenz nicht gleichmäßig ist. Hier suchen wir das Gegenbeispiel.

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