Beweis der geschlossenen Approximation der Rekursionsrelation Xk=kXk−1Xk=kXk−1X_k=\frac{k}{X_{k-1}}

Question

Beweis der geschlossenen Approximation der Rekursionsrelation Xk=kXk−1Xk=kXk−1X_k=\frac{k}{X_{k-1}}

Mathematik
Annäherung
Realanalyse
Wiederholungsbeziehungen
Sequenzen-und-Serien
Freizeit-Mathematik

dsillman2000

Heute früh habe ich mit einer Wiederholungsrelation herumgespielt, von der ich dachte, dass sie sich eigenartig verhält, nämlich

X_{k} = \frac{k}{X_{k - 1}} k \geq 0 X_{0} = 1

$X_k=\frac{k}{X_{k-1}} \qquad k\geq 0 \\ X_0=1$ Nachdem ich die ersten 100 Terme gezeichnet hatte, bemerkte ich, dass es sich im Wesentlichen um zwei „verwobene“ Quadratwurzelkurven handelte. Ich habe dann versucht, die Terme zu quadrieren, um zu bestätigen, dass ich gerade Linien erhalten habe, was ich ungefähr getan habe (nicht genau gerade, aber annähernd gerade), was impliziert, dass, was auch immer meine stückweise verwobene geschlossene Quadratwurzelform sein mag, es nur die Grenze von war Wiederholungsbeziehung als

k \to \infty

$k\rightarrow\infty$ . Ich spielte herum und versuchte, den Koeffizienten von zu finden

k

$k$ , schließlich diese Annäherung finden:

X_{k} :\approx {\begin{cases} \sqrt{1 + \frac{π}{2} k} & k selbst \\ \sqrt{\frac{2}{π} k} & k seltsam \end{cases}

$X_k:\approx\begin{cases} \sqrt{1+\frac{\pi}{2}k} & k\text{ even} \\ \sqrt{\frac{2}{\pi}k} & k\text{ odd} \end{cases}$

Dies scheint wirklich (durch Inspektion) die beste Annäherung zu sein, die ich machen kann $X_k$ in der Stunde, in der ich daran gearbeitet habe, aber ich habe mich gefragt, wie ich diese Art von Beziehung beweisen könnte. Es ist merkwürdig für mich, dass Pi überhaupt involviert ist, meine einzige Hypothese ist bisher, dass irgendwo im Beweis eine Art inverse trigonometrische Funktion verwendet wird.

Michal Adamaszek

Bis auf einige Indexmanipulationen ist dies math.stackexchange.com/questions/1693377/…

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Beweis der geschlossenen Approximation der Rekursionsrelation Xk=kXk−1Xk=kXk−1X_k=\frac{k}{X_{k-1}}

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CHAMSI · Answer 1

Wir können diese Wiederholungsbeziehung lösen, sagen wir $n\in\mathbb{N}$ , und lass $k$ sei eine positive ganze Zahl:

\begin{aligned} X_{2 k} = \frac{2 k}{X_{2 k - 1}} & = \frac{2 k}{2 k - 1} X_{2 k - 2} \\ ⟹ \prod_{k = 1}^{N} \frac{X_{2 k}}{X_{2 k - 2}} & = \prod_{k = 1}^{N} \frac{2 k}{2 k - 1} \\ ⟺ \frac{X_{2 N}}{X_{0}} & = \frac{2^{2 N}}{(\binom{2 N}{N})} \end{aligned}

$\begin{aligned} X_{2k}=\frac{2k}{X_{2k-1}}&=\frac{2k}{2k-1}X_{2k-2}\\ \Longrightarrow\prod_{k=1}^{n}{\frac{X_{2k}}{X_{2k-2}}}&=\prod_{k=1}^{n}{\frac{2k}{2k-1}}\\ \iff \ \ \ \ \ \ \ \frac{X_{2n}}{X_{0}}&=\frac{2^{2n}}{\binom{2n}{n}}\end{aligned}$

\begin{aligned} X_{2 k + 1} = \frac{2 k + 1}{X_{2 k}} & = \frac{2 k + 1}{2 k} X_{2 k - 1} \\ ⟹ \prod_{k = 1}^{N} \frac{X_{2 k + 1}}{X_{2 k - 1}} & = \prod_{k = 1}^{N} \frac{2 k + 1}{2 k} \\ ⟺ \frac{X_{2 N + 1}}{X_{1}} & = \frac{2 N + 1}{2^{2 N}} (\binom{2 N}{N}) \end{aligned}

$\begin{aligned} X_{2k+1}=\frac{2k+1}{X_{2k}}&=\frac{2k+1}{2k}X_{2k-1}\\ \Longrightarrow\prod_{k=1}^{n}{\frac{X_{2k+1}}{X_{2k-1}}}&=\prod_{k=1}^{n}{\frac{2k+1}{2k}}\\ \iff \ \ \ \ \frac{X_{2n+1}}{X_{1}}&=\frac{2n+1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}\end{aligned}$

Daher,

(\forall N \in N), X_{N} = {\begin{aligned} \frac{2^{N}}{(\binom{N}{\frac{N}{2}})} & Wenn N ist gerade \\ \frac{N}{2^{N - 1}} (\binom{N - 1}{\frac{N - 1}{2}}) & Wenn N ist ungerade \end{aligned}

$\left(\forall n\in\mathbb{N}\right),\ X_{n}=\left\lbrace\begin{aligned}\frac{2^{n}}{\binom{n}{\frac{n}{2}}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &\textrm{If }n\textrm{ is even} \\ \frac{n}{2^{n-1}}\binom{n-1}{\frac{n-1}{2}} \ \ \ \ &\textrm{If }n\textrm{ is odd}\end{aligned}\right.$

Beweis der geschlossenen Approximation der Rekursionsrelation Xk=kXk−1Xk=kXk−1X_k=\frac{k}{X_{k-1}}

dsillman2000

Michal Adamaszek

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CHAMSI

Ägyptische Bruchreihen für 9970−2–√9970−2\frac{99}{70}-\sqrt{2}

Gibt es mehr zu dieser Beziehung mit den Fibonacci-Zahlen?

Finde limn→∞a1+a2+...+an1+12√+...+1n√limn→∞a1+a2+...+an1+12+...+1n\lim\limits_{n\to\ infty}\frac{a_1+a_2+...+a_n}{1+\frac{1}{\sqrt2}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}} mit a1=1a1=1a_1 =1 und an+1=1+ann+1√an+1=1+ann+1a_{n+1}=\frac{1+a_n}{\sqrt{n+1}}

Lösen einer formalen Potenzreihengleichung

Konvergenz der Reihe ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} für x>0x>0x>0

Konvergente Folge im vollständigen metrischen Raum, der nicht Cauchy ist?

Einige unendliche Serien (nur zum Spaß!)

Summe der inversen Quadrate der Hypotenuse pythagoräischer Dreiecke

Bestimmen Sie, ob die Reihe ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} konvergent oder divergent ist.

monotone Konvergenz ohne 1 Punkt