Lassen Sie uns die Notationen von verwenden
http://mathworld.wolfram.com/DoubleSeries.html
Wir legen eine positiv bestimmte binäre quadratische Form festQ
gegeben vonQ( m , n ) = einM2+ b m n + cN2
,a , b , c
ganze Zahlen. Wir verwenden Summationen über den Indexsatz
J= Z × Z − { ( 0 , 0 ) } .
Wir definieren
S( q; s ) = S( a , b , c ; s )S1( q; s ) =S1( a , b , c ; s )S2( q; s ) =S2( a , b , c ; s )S12( q; s ) =S12( a , b , c ; s )=∑( m , n ) ∈ JQ( m , n)− s=∑( m , n ) ∈ J( einM2+ b m n + cN2)− s ,=∑( m , n ) ∈ J( -1 _)MQ( m , n)− s ,=∑( m , n ) ∈ J( -1 _)NQ( m , n)− s ,=∑( m , n ) ∈ J( -1 _)m + nQ( m , n)− s .
Die letzten drei Summen sind "verdrehte Versionen" der ersten Summe, die "Verdrehung" erfolgt durch die Verwendung eines Zeichens für den ersten Parameter, für den zweiten, für beide. In unserem Fall,
Q( m , n ) =M2+N2
, Und
( a , b , c ) = ( 1 , 0 , 1 )
, haben wir einen symmetrischen Fall (bezüglich des Austauschs
a ↔ c
).
Wir werden fallenQ
unten von Notationen inS?( q, s )
, da wir nur die obige quadratische Form verwendenQ
. Ich entschied mich während des Bearbeitungsvorgangs, der uns schnell zu Zahlen bringen sollte, die wir berechnen können, dass es besser ist, die Versionen für die Überprüfung einzugebenS+
für alle Summen, bei denen der Plus-Index eine weitere Einschränkung anzeigt( m , n ) ∈ J
mit
( + )m , n > 0 .
Von loc. zit. extrahieren wir die folgenden Beziehungen:
S( s )S12( s )S+( s )−S+12( s )S+( s ) −S+12( s )=∑( m , n ) ∈ J(M2+N2)− s= 4β _( s )ζ( s ) , =∑( m , n ) ∈ J( -1 _)m + n(M2+N2)− s= − 4 β( s )η( s ) = − 4 β( s )( 1 −21 - s)ζ( s ) . Dann sind die Plus-Versionen:= β( s )ζ( s ) − ζ( 2 s ) , = β( s )η( s ) − η( 2 s )= β( s )( 1 −21 - s) ζ( s ) − ( 1 −21 - 2 s) ζ( 2 s ) , was gibt= 2β _( s )( 1 −2− s) ζ( s ) − 2 ( 1 −2− 2 s) ζ( 2 s ) .
Lassen Sie uns nun nach einer linearen Kombination der obigen Summen suchen, die der Summierung entsprechenQ( m , n)− s
über den Satz vonK
von allen( m , n )
mit positiver (Komponenten mit) unterschiedlicher Parität. Das ist
12( S+( s ) −S+12( s ) ) .
Bis jetzt können wir schreiben:
β( s )( 1 −2− s) ζ( s ) − ( 1 −2− 2 s) ζ( 2 s )=12( S+( s ) −S+12( s ) ) =∑( m , n ) ∈ Km , n > 0Q( m , n)− s= 2∑( m , n ) ∈ Km > n > 0Q( m , n)− s= 2∑( m , n ) ∈ Km > n > 0D= ( m , n ) ungeradeQ( m , n)− s und mit m= m / d, N = n / d= 2∑D> 0 ungeradeD− 2 s∑( M, N) ∈ KM> N> 0( M, N) = 1Q( M, N)− s= 2 ( 1 −2− 2 s)ζ( 2 s )∑( M, N) ∈ KM> N> 0( M, N) = 1Q( M, N)− s .
Die isolierte Summe im letzten Ausdruck ist die Summe, die wir brauchen, nehmen wir sie an
s = 2
.
Der Wert, den wir erhalten, ist:
β( 2 )ζ( 2 )2 ( 1 +2− 2) ζ( 4 )−12 =6 Cπ2−12.
β( 2 ) ζ( 2 )2 ( 1 +2− 2) ζ( 4 )−12=6 Cπ2−12.
WoC
ist die katalanische Konstante. Numerisch:
sage: E = catalan * zeta(2) / 2 / (1+2^-2) / zeta(4) - 1/2
sage: E.n()
0.0568403090661582
Martin R
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