Warum gilt diese Äquivalenz der Summen? [geschlossen]

Der einfachste Weg, diese Gleichung zu beweisen, hat nichts mit dem eigentlichen Summanden zu tun: Wenn Sie ersetzen$(1/2)^k$durch alles andere ist die Gleichung auch wahr (mit einer geeigneten Konvergenzhypothese). Es kommt nur auf eine Gleichheit der Indexsätze an.

Um dies intuitiv zu sehen, beachten Sie, dass in der kartesischen Koordinatenebene die horizontale Achse beschriftet ist$j$und vertikale Achse beschriftet$k$, sind die Indexmengen auf beiden Seiten der Gleichung gleich der Menge der ganzzahligen Gitterpunkte im Freien$1^{\text{st}}$Quadrant auf oder über der Linie$k=j+1$.

Geleitet von dieser Intuition können Sie das wahrscheinlich für jeden direkt erkennen$(j,k) \in \mathbb N \times \mathbb N$,

$$\begin{align*} & \quad \bigl( 2 \le k \quad\text{and}\quad 1 \le j \le k-1 \bigl)\\ \text{if and only if} & \quad \bigl( j \ge 1 \quad\text{and}\quad k \ge 2 \quad\text{and}\quad k \ge j+1 \bigr) \\ \text{if and only if} & \quad \bigl( 1 \le j \quad\text{and}\quad j+1 \le k \bigr) \end{align*}$$

Die Äquivalenz lässt sich leicht durch Doppelzählung nach folgendem Schema zeigen

In der Tat

• $\sum_{k=2}^{\infty} \sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}$ist die Summe Spalte für Spalte
• $\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{k=j+1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}$ist die Summe Zeile für Zeile

Mit geometrischen Reihen für die innere Summe, die wir haben$\sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^k=\frac{k-1}{2^k}$. Setzen wir nun dieses Ergebnis in die äußere Summe ein, erhalten wir$\sum _{k=2}^R \frac{k-1}{2^k}=1-\frac{R+1}{2^R}$.

Zusammengenommen erhalten wir für die linke Seite (unter Verwendung der Grenze$R$statt unendlich):

$$\sum_{k=2}^{R}\sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^k=1-\frac{R+1}{2^R}$$

Was passiert also auf der rechten Seite? Für die innere Summe haben wir$\sum _{k=j+1}^R \left(\frac{1}{2}\right)^k=\frac{1}{2^j}-\frac{1}{2^R}$. Setzen wir dieses Ergebnis in die äußere Summe ein und erhalten ebenfalls$\sum _{j=1}^R \left(\frac{1}{2^j}-\frac{1}{2^R}\right)=1-\frac{R+1}{2^R}$.

Daher beim Ersetzen auf der rechten Seite in beiden Summen unendlich mit$R$, erhalten Sie auch:

$$\sum_{j=1}^{R}\sum_{k=j+1}^{R}\left(\frac{1}{2}\right)^k=1-\frac{R+1}{2^R}$$

Daher können wir schließen$C\left(1-\frac{R+1}{2^R}\right)=C\left(1-\frac{R+1}{2^R}\right)$was wahr ist.