Ist der Integraltest für die Konvergenz notwendig und ausreichend?

Also habe ich über den Integraltest für die Konvergenz einer Reihe aus Wikipedia gelesen, der besagt, dass die Reihe konvergiert, wenn das Integral der monoton abnehmenden Funktion konvergiert, aber meiner Intuition entspricht

∫ 1 ∞ F ( X ) D X ≤ ∑ k = 1 + ∞ F ( k )

Einfach weil die Funktion monoton fallend und positiv ist. In diesem Fall könnte ich konvergierende Integrale und divergierende Reihen haben, alles, was ich sagen könnte, ist, dass die Reihe definitiv divergiert, wenn das Integral divergiert. Ich meine, es sieht eher nach einem Divergenztest als nach einem Konvergenztest aus. Gehe ich irgendwo falsch? Jede Hilfe wird aufrichtig geschätzt, da ich nicht jemand mit einem formalen mathematischen Hintergrund bin.

Bitte keine Großbuchstaben.
@AlexFrancisco Ok, keine Probleme .... jemand hat es bereits bearbeitet

Antworten (2)

Beachten Sie das für alle N , wir haben

∑ N = 2 N F ( N ) ≤ ∫ 1 N F ( X ) D X ≤ ∑ N = 1 N F ( N ) .

(wobei die untere Grenze der ersten Summe zu beachten ist.) Wenn Sie sich das Integral als Fläche und die rechte Summe als eine Fläche von 1 Einheit breiten Rechtecken vorstellen, dann stellen Sie sich die linke Summe als vor dieselben Rechtecke, aber um eine Einheit nach links verschoben (und das erste Rechteck wegwerfen).

Die Ungleichung zeigt, dass die Summen und das Integral zusammen konvergieren oder divergieren.

Beachten Sie das seit F nimmt ab

∫ 1 ∞ F ( X ) D X ≥ ∫ 1 ∞ F ( ⌈ X ⌉ ) D X = ∑ N = 2 ∞ F ( N ) .

Ist der Integraltest für die Konvergenz notwendig und ausreichend?
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