Naive Lösung
Beachten Sie, dass( ein , b , c ) ∈Z3> 0
ist inT
iff| b−c | <ein<b+c
. Daher, wenn
S( p , q, r ) : =∑( a , b , c ) ∈ TPAQBRC,
Wo
p , q, r ∈ C
mit
| Qr | < 1
,
| rp | <1
, Und
| pq| <1
, Dann
S( p , q, r ) =∑b = 1∞QB∑c = 1∞RC∑ein = | b − c | + 1b + c − 1PA.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen
p ≠ ± 1
. Das ist,
S( p , q, r ) =∑b = 1∞QB∑c = 1∞RC(P| b−c | +1−Pb + c1 - p).
Folglich
S( p , q, r ) =11 - p( S∑b = 1∞( qR)B∑c = b∞( pr _)c - b+ S∑b = 1∞( qR)B∑c = 1b − 1(PR)b - c−∑b = 1∞( p q)B∑c = 1∞( pr _)C).(*)
Wenn
p ≠ r
, Dann
S( p , q, r ) =11 - p( S(QR1 - qR)(11 - p r) +S∑b = 1∞( qR)BPR−(PR)B1 -PR− (p q1 - p q)(p r1 - p r) ).
Ergo, z
p ≠ r
, wir haben
S( p , q, r )=11 - p( S(QR1 - qR)(11 - p r) +S(PR1 -PR)(QR1 - qR)ein ein ein ein ein - p(11 -PR)(p q1 - p q) - (p q1 - p q)(p r1 - p r) ).
Wenn wir den Ausdruck vereinfachen, erhalten wir
S( p , q, r ) =p qR( 1 + p qr )( 1 − qr )( 1 − r p )( 1 − p q)(#)
Wenn
p ≠ r
..
Wennp = r
, dann können Sie die Kontinuität verwenden, um zu schließen, dass (#) gilt. Alternativ haben wir von (*)
S( p , q, p ) =11 - p( S∑b = 1∞( p q)B∑c = b∞(P2)c - b+ S∑b = 1∞( b − 1 )( p q)B−∑b = 1∞( p q)B∑c = 1∞(P2)C).
Das ist,
S( p , q, p ) =11 - p( S(p q1 - p q)(11 -P2) +S(p q1 - p q)2− (p q1 - p q)(P21 -P2) ).
Beim Vereinfachen erhalten wir
S( p , q, p ) =P2Q( 1+ _P2Q)( 1 −P2)( 1 − p q)2,
was mit (#) übereinstimmt.
Nun, in diesem speziellen Problem,p = 2
,Q=13
, Undr =15
. Daher durch (#),
S( 2 ,13,15) =1721.
Ich war versucht, Ravis Substitutionen zu verwenden, wollte aber veranschaulichen, dass ein direkter Ansatz nicht so schlecht ist.
Außenseiter
Abhinav Kumar Singh
Außenseiter