PQ∥BCPQ∥BCPQ ∥ BC für gleichschenkliges △ABC△ABC\Dreieck ABC und einbeschriebenes gleichseitiges △PQR△PQR\Dreieck PQR, wobei RRR der Mittelpunkt von BCBCBC ist

Question

PQ∥BCPQ∥BCPQ ∥ BC für gleichschenkliges △ABC△ABC\Dreieck ABC und einbeschriebenes gleichseitiges △PQR△PQR\Dreieck PQR, wobei RRR der Mittelpunkt von BCBCBC ist

Geometrie
Dreiecke
Mathematik
Kongruenzen-Geometrie

Afsheen

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Dreieck $ABC$ ist gleichschenklig. Ein gleichseitiges Dreieck $PQR$ ist darin mit eingeschrieben $R$ der Mittelpunkt von sein $BC$ . Wie können Sie beweisen $PQ \parallel BC$ ?

FlussX15

Beitreten

A R

$AR$ könnte helfen.

Afsheen

@ RiverX15, das habe ich versucht, aber ich bin nirgendwo hingekommen

Mathe-Liebhaber

Es ist klar, dass

B P = C Q

$BP = CQ$

Afsheen

@MathLover Nun, die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks ist sein Median und seine Winkelhalbierende (von Winkel A), also habe ich etwas damit versucht, aber ich bin nirgendwo hingekommen. Und ja, ich kann sehen, dass BP=CQ, aber ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie es mir beweisen könnten, danke.

John Omelan

@MathLover Eigentlich ist es nicht unbedingt wahr

B P = C Q

$BP = CQ$ nur auf der Grundlage der bereitgestellten Informationen. Anwendung des Sinussatzes in

△ B R P

$\triangle BRP$ Und

△ C Q R

$\triangle CQR$ zeigt, dass

\sin (∡ C Q R) = \sin (∡ B P R)

$\sin(\measuredangle CQR) = \sin(\measuredangle BPR)$ , also entweder

∡ C Q R = ∡ B P R

$\measuredangle CQR = \measuredangle BPR$ oder

∡ C Q R + ∡ B P R = 180^{\circ}

$\measuredangle CQR + \measuredangle BPR = 180^{\circ}$ . Im ersteren Fall haben Sie Recht, aber im letzteren Fall kann man das zeigen

∡ P B R = ∡ Q C R = 30^{\circ}

$\measuredangle PBR = \measuredangle QCR = 30^{\circ}$ , wobei es dann möglich ist, zu haben

P B \neq C Q

$PB \neq CQ$ Und

P Q ∦ B C

$PQ \not\parallel BC$ . Das Diagramm würde dann ganz anders aussehen.

VTand

@MathLover möchte ich sagen

B P = C Q

$BP = CQ$ ist offensichtlich, aber irgendwie kann ich auch nicht herausfinden warum. Wenn

△ B P R

$\triangle BPR$ Und

△ C Q R

$\triangle CQR$ kongruent sind, dann ist das Problem gelöst, aber es gibt kein Winkel-Seite-Seite-Postulat. Ich frage mich also, wie Sie es beweisen würden.

Afsheen

@JohnOmielan, das ist das Ding. Wenn wir davon ausgehen, dass PQ nicht parallel zu BC ist, ändert sich das Diagramm. Es muss, weil PQ und BC parallel zueinander SIND. Ich habe mich gefragt, ob ich eine Art Widerspruchsbeweis verwenden könnte, um dies zu beweisen, aber ich bin mir nicht wirklich sicher. Es ist, als hätten Sie nicht genügend Informationen, um einen soliden Beweis zu schreiben, aber die Annahme, dass etwas anderes das Diagramm und damit die Frage ändert.

Afsheen

@VTand, genau! Ich habe das eigentlich gefragt, weil ich auf ein Problem gestoßen bin, bei dem ich den Winkel BPR bei gegebenem Winkel A finden musste. Und für die Lösung musste ich beweisen, dass Winkel APQ = Winkel ABC ist, was bedeutet, dass PQ parallel zu BC ist. Und obwohl das völlig sinnvoll ist, weiß ich nur nicht wie.

Mathe-Liebhaber

@Afsheen dein Diagramm ist etwas irreführend. Es hängt davon ab, ob es sich um ein spitzwinkliges gleichschenkliges Dreieck oder ein stumpfwinkliges gleichschenkliges Dreieck handelt.

Mathe-Liebhaber

@VTand mein Kommentar ist für ein spitzwinkliges gleichschenkliges Dreieck

John Omelan

@MathLover Ja, mit einem spitzwinkligen gleichschenkligen Dreieck ist Ihr Kommentar richtig. Ansonsten, wie mein vorheriger Kommentar zeigt, wenn

∡ B A C = 120^{\circ}

$\measuredangle BAC = 120^{\circ}$ (dh ist ein stumpfwinkliges gleichschenkliges Dreieck), dann ist ein Gegenbeispiel möglich.

Mathe-Liebhaber

@JohnOmielan ja du hast recht. Ich habe nicht bemerkt, dass das Dreieck nicht spitzwinklig war. Ich habe gerade ein Diagramm hinzugefügt, das das Gegenbeispiel zeigt.

Antworten (1)

PQ∥BCPQ∥BCPQ ∥ BC für gleichschenkliges △ABC△ABC\Dreieck ABC und einbeschriebenes gleichseitiges △PQR△PQR\Dreieck PQR, wobei RRR der Mittelpunkt von BCBCBC ist

@ RiverX15, das habe ich versucht, aber ich bin nirgendwo hingekommen
@MathLover Nun, die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks ist sein Median und seine Winkelhalbierende (von Winkel A), also habe ich etwas damit versucht, aber ich bin nirgendwo hingekommen. Und ja, ich kann sehen, dass BP=CQ, aber ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie es mir beweisen könnten, danke.
@MathLover Eigentlich ist es nicht unbedingt wahr $BP = CQ$ nur auf der Grundlage der bereitgestellten Informationen. Anwendung des Sinussatzes in $\triangle BRP$ Und $\triangle CQR$ zeigt, dass $\sin(\measuredangle CQR) = \sin(\measuredangle BPR)$ , also entweder $\measuredangle CQR = \measuredangle BPR$ oder $\measuredangle CQR + \measuredangle BPR = 180^{\circ}$ . Im ersteren Fall haben Sie Recht, aber im letzteren Fall kann man das zeigen $\measuredangle PBR = \measuredangle QCR = 30^{\circ}$ , wobei es dann möglich ist, zu haben $PB \neq CQ$ Und $PQ \not\parallel BC$ . Das Diagramm würde dann ganz anders aussehen.
@MathLover möchte ich sagen $BP = CQ$ ist offensichtlich, aber irgendwie kann ich auch nicht herausfinden warum. Wenn $\triangle BPR$ Und $\triangle CQR$ kongruent sind, dann ist das Problem gelöst, aber es gibt kein Winkel-Seite-Seite-Postulat. Ich frage mich also, wie Sie es beweisen würden.
@JohnOmielan, das ist das Ding. Wenn wir davon ausgehen, dass PQ nicht parallel zu BC ist, ändert sich das Diagramm. Es muss, weil PQ und BC parallel zueinander SIND. Ich habe mich gefragt, ob ich eine Art Widerspruchsbeweis verwenden könnte, um dies zu beweisen, aber ich bin mir nicht wirklich sicher. Es ist, als hätten Sie nicht genügend Informationen, um einen soliden Beweis zu schreiben, aber die Annahme, dass etwas anderes das Diagramm und damit die Frage ändert.
@VTand, genau! Ich habe das eigentlich gefragt, weil ich auf ein Problem gestoßen bin, bei dem ich den Winkel BPR bei gegebenem Winkel A finden musste. Und für die Lösung musste ich beweisen, dass Winkel APQ = Winkel ABC ist, was bedeutet, dass PQ parallel zu BC ist. Und obwohl das völlig sinnvoll ist, weiß ich nur nicht wie.
@Afsheen dein Diagramm ist etwas irreführend. Es hängt davon ab, ob es sich um ein spitzwinkliges gleichschenkliges Dreieck oder ein stumpfwinkliges gleichschenkliges Dreieck handelt.
@VTand mein Kommentar ist für ein spitzwinkliges gleichschenkliges Dreieck
@MathLover Ja, mit einem spitzwinkligen gleichschenkligen Dreieck ist Ihr Kommentar richtig. Ansonsten, wie mein vorheriger Kommentar zeigt, wenn $\measuredangle BAC = 120^{\circ}$ (dh ist ein stumpfwinkliges gleichschenkliges Dreieck), dann ist ein Gegenbeispiel möglich.
@JohnOmielan ja du hast recht. Ich habe nicht bemerkt, dass das Dreieck nicht spitzwinklig war. Ich habe gerade ein Diagramm hinzugefügt, das das Gegenbeispiel zeigt.

Mathe-Liebhaber · Answer 1

Bitte sehen Sie sich das folgende Diagramm an, das ein Gegenbeispiel für ein stumpfwinkliges gleichschenkliges Dreieck ( $120$ - $30$ - $30$ ) wie von John Omielan erwähnt.

Für $\angle BRP = 60^\circ + x, \angle CRQ = 60^\circ - x$ oder umgekehrt mit $0 \lt x \lt 30^\circ$ bringt uns Punkte $P$ Und $Q$ an den Seiten $AB$ Und $AC$ so dass $\triangle PQR$ ist aber gleichseitig $PQ$ ist nicht parallel zu $BC$ .

Mit dem Sinussatz können wir das zeigen $120$ - $30$ - $30$ ist das einzige gleichschenklige Dreieck, für das $PQ$ ist nicht unbedingt parallel zu $BC$ .

Sagen $\angle B = \angle C = y$ Und $\angle BRP = 60^\circ + x, \angle CRQ = 60^\circ - x$

Nach dem Sinusgesetz in $\triangle BPR$ ,

$\displaystyle \frac{\sin (180^\circ - (60^\circ + x+y))}{BR} = \frac{\sin y}{PR} \tag1$

Nach dem Sinusgesetz in $\triangle CQR$ ,

$\displaystyle \frac{\sin (180^\circ - (60^\circ - x + y))}{CR} = \frac{\sin y}{QR} \tag2$

Als $BR = CR$ Und $PR = QR$ , aus $(1)$ Und $(2)$ wir erhalten

$\sin (60^\circ - x + y) = \sin (60^\circ + x + y)$

Also haben wir entweder $60^\circ - x + y = 60^\circ + x + y ~$ dh $~x = 0$ . Das führt zu $\angle BRP = \angle CRQ = 60^\circ ~$ Und $~PQ \parallel BC$ .

Oder wir haben,

$(60^\circ - x + y) + (60^\circ + x + y) = 180^\circ \implies y = 30^\circ$ Und $\triangle ABC$ Ist $120$ - $30$ - $30$ Dreieck. In diesem Fall ist dies nicht erforderlich $\angle BRP = \angle CRQ$ . Ich habe diesen Fall im ersten Teil meiner Antwort demonstriert.

Das ist ein ausgezeichnetes Diagramm und eine Erklärung des Problems, das ich in meinen Kommentaren erwähnt habe.

PQ∥BCPQ∥BCPQ ∥ BC für gleichschenkliges △ABC△ABC\Dreieck ABC und einbeschriebenes gleichseitiges △PQR△PQR\Dreieck PQR, wobei RRR der Mittelpunkt von BCBCBC ist

Afsheen

FlussX15

Afsheen

Mathe-Liebhaber

Afsheen

John Omelan

VTand

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Afsheen

Mathe-Liebhaber

Mathe-Liebhaber

John Omelan

Mathe-Liebhaber

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Mathe-Liebhaber

John Omelan

Mathe-Liebhaber

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