Bilden die Mediane (oder andere Ceviane) alle Dreiecke?

Aus dem Wikipedia-Artikel über Median sind die Längen der Mediane in Bezug auf die Seitenlängen:

$m_a = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$

$m_b = \dfrac{1}{2}\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}$

$m_c = \dfrac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$

Auflösen für$(m_a,m_b,m_c)$bezüglich$(a,b,c)$Erträge:

$a = \dfrac{2}{3}\sqrt{2m_b^2+2m_c^2-m_a^2}$

$b = \dfrac{2}{3}\sqrt{2m_c^2+2m_a^2-m_b^2}$

$c = \dfrac{2}{3}\sqrt{2m_a^2+2m_b^2-m_c^2}$

Also für beliebige mittlere Längen$(m_a,m_b,m_c)$, können wir Seitenlängen finden$(a,b,c)$so dass das Dreieck mit Seitenlängen$(a,b,c)$hat Längenmittelwerte$(m_a,m_b,m_c)$.

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist gegeben durch:

$T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \dfrac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}$,

Wo$s = \dfrac{a+b+c}{2}$Und$\sigma = \dfrac{m_a+m_b+m_c}{2}$.

Daran können wir das erkennen$(a,b,c)$erfüllt die Dreiecksungleichung gdw$(m_a,m_b,m_c)$erfüllt die Dreiecksungleichung. (Wenn eines der Tripel die Ungleichung nicht erfüllt, wäre die entsprechende Größe unter dem Radikal negativ).